Resolva o problema de valor inicial (PVI) sujeita a condição dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
e pede a solução que satisfaça
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Coloco tudo na forma padrão
. Subtraindo o termo do lado direito obtemos
Logo defino
Este passo é só para organizar a equação e deixar explícitos
e
.
Passo 3
Vou verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma condição necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Calculo as derivadas parciais:
Calculo de
:
Calculo de
:
Como
a equação é exata. Isso garante que existe
tal que
.
Passo 4
Para encontrar
integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço termo a termo:
Portanto uma expressão para
é
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em função de
).
Passo 5
Agora determino
usando a condição
. Calculo
:
Devemos ter
Comparando as expressões obtemos
Logo
é constante. Chamo essa constante de
.
Passo 6
A solução implícita geral é dada por
Isto representa a família de curvas implícitas solução da equação exata.
Passo 7
Uso a condição inicial
para determinar
. Substituo
e
em
:
Portanto
.
Passo 8
A solução particular que satisfaz a condição inicial é a equação implícita obtida substituindo
:
Essa é a solução do PVI. Não é necessário (nem prático) isolar
explicitamente em função de
; a forma implícita é perfeitamente válida como solução.