Resolva o problema de valor inicial (PVI) sujeita a condição dada:
\left\{\begin{array}{l} \left(x-y^{3}+y^{2} \operatorname{sen} x\right) d x=\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y \\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(x-y^{3}+y^{2}\sin x\right)\,dx=\left(3x y^{2}+2y\cos x\right)\,dy
e pede a solução que satisfaça y(0)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{cases} \text{Equação: } \left(x-y^{3}+y^{2}\sin x\right)\,dx=\left(3x y^{2}+2y\cos x\right)\,dy,\\[4pt] \text{Condição inicial: } y(0)=1. \end{cases}çãçã]

Passo 2

Coloco tudo na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Subtraindo o termo do lado direito obtemos
\left(x-y^{3}+y^{2}\sin x\right)\,dx-\left(3x y^{2}+2y\cos x\right)\,dy=0.
Logo defino
M(x,y)=x-y^{3}+y^{2}\sin x, \qquad N(x,y)=-\bigl(3x y^{2}+2y\cos x\bigr).
Este passo é só para organizar a equação e deixar explícitos M e N.

Passo 3

Vou verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se existir uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
Calculo de \dfrac{\partial M}{\partial y}:
M(x,y)=x-y^{3}+y^{2}\sin x
\frac{\partial M}{\partial y}=-3y^{2}+2y\sin x.
Calculo de \dfrac{\partial N}{\partial x}:
N(x,y)=-3x y^{2}-2y\cos x
\frac{\partial N}{\partial x}=-3y^{2}+2y\sin x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=-3y^{2}+2y\sin x=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Isso garante que existe F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy.

Passo 4

Para encontrar F(x,y) integro M em relação a x, tratando y como constante:
\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(x-y^{3}+y^{2}\sin x\bigr)\,dx.
Faço termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, \qquad \int (-y^{3})\,dx=-x y^{3}, \qquad \int y^{2}\sin x\,dx=-y^{2}\cos x.
Portanto uma expressão para F é
F(x,y)=\frac{x^{2}}{2}-x y^{3}-y^{2}\cos x+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em função de y).

Passo 5

Agora determino g(y) usando a condição \dfrac{\partial F}{\partial y}=N(x,y). Calculo \dfrac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{2}-x y^{3}-y^{2}\cos x+g(y)\right) =-3x y^{2}-2y\cos x+g'(y).
Devemos ter
\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=-3x y^{2}-2y\cos x.
Comparando as expressões obtemos
-3x y^{2}-2y\cos x+g'(y)=-3x y^{2}-2y\cos x \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante. Chamo essa constante de C.

Passo 6

A solução implícita geral é dada por
F(x,y)=\frac{x^{2}}{2}-x y^{3}-y^{2}\cos x=C.
Isto representa a família de curvas implícitas solução da equação exata.

Passo 7

Uso a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituo x=0 e y=1 em F(x,y):
F(0,1)=\frac{0^{2}}{2}-0\cdot 1^{3}-1^{2}\cos 0 = -\cos 0 = -1.
Portanto C=-1.

Passo 8

A solução particular que satisfaz a condição inicial é a equação implícita obtida substituindo C=-1:
\frac{x^{2}}{2}-x y^{3}-y^{2}\cos x=-1.
Essa é a solução do PVI. Não é necessário (nem prático) isolar y explicitamente em função de x; a forma implícita é perfeitamente válida como solução.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-x y^{3}-y^{2}\cos x=-1

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