7.15 Um solenóide, de raio 4 mm e comprimento 2 cm , tem 150 espiras (/ \mathrm{m}) e é percorrido por uma corrente de 500 mA . Determine:
|H | nas extremidades do solenóide.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo do campo de intensidade magnética |H| nas extremidades de um solenóide. As informações fornecidas são:
\text{raio} = 4\\ \mathrm{mm} = 0,004\\ \mathrm{m}
\text{comprimento} = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}
\text{densidade de espiras} = 150\\ \text{espiras/m} \quad(\text{ou seja } n=150\\ \mathrm{m^{-1}})
\text{corrente} = 500\\ \mathrm{mA} = 0,5\\ \mathrm{A}
O que se pede: calcular |H| nas extremidades (cada extremidade) do solenóide.

Passo 2

O que é H e como ele se relaciona com B. Vou explicar isso de forma direta e prática:
\text{campo magnético } B \text{ e intensidade } H \text{ estão ligados por } B=\mu_0 Héã
aqui estamos supondo o espaço vazio (ar) dentro/fora do solenóide, então \mu_0 é a permeabilidade do vácuo:
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Explicação curta: B é o campo magnético em tesla, H tem unidades \mathrm{A/m} e é útil quando queremos aplicar a Lei de Ampère diretamente. Para obter H a partir de correntes usamos Ampère.

Passo 3

Regra prática para um solenóide longo (resultado clássico alvo aqui): dentro de um solenóide muito longo e uniformemente enrolado a intensidade H é dada por
H_{\text{interno}} = n\,I,
onde n é o número de espiras por metro e I é a corrente. Vou justificar rapidamente com Ampère, em linguagem simples:
  • Considere um laço amperiano retangular que percorre o interior do solenóide por um trecho de comprimento l. Pela Lei de Ampère:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{enc}}.
  • Dentro do solenóide o campo é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo, fora é desprezível (no caso ideal). Assim \oint H\,dl \approx H\,l.
  • A corrente “enclausurada” pelo laço é o número de espiras no comprimento l vezes I: I_{\text{enc}}=(n\,l)I.
  • Logo H\,l = (n\,l)I, ou seja H=nI.

Passo 4

Por que nas extremidades vale metade do valor interno? Intuição e argumento simples:
  • Pense num solenóide infinito: dentro H=nI e fora H\approx 0.
  • Um solenóide finito pode ser visto como a junção de duas metades semi-infinitas. O campo no ponto que fica exatamente na extremidade de uma metade é o mesmo que o campo produzido por uma semi-infinita, e a soma das contribuições das duas semi-infinitas dá o infinito com H=nI.
  • Assim, cada semi-infinitude contribui com metade do H do solenóide infinito. Portanto, no plano da extremidade de um solenóide “longo o suficiente” o campo aproximado vale
H_{\text{extremidade}} = \frac{1}{2}\,n\,I.
Esse resultado é o que costuma ser usado em problemas de prova: campo nas extremidades ≈ metade do campo dentro.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso problema: a expressão que vamos usar é
H_{\text{extremidade}}=\frac{1}{2}\,n\,I.
Substituo os valores dados (todos em unidades do SI):
n=150\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad I=0,5\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Faço a multiplicação passo a passo:
\frac{1}{2}\,n\,I = \frac{1}{2}\times 150\times 0,5.
Primeiro 150\times 0,5 = 75. Depois \tfrac{1}{2}\times 75 = 37,5.
Portanto o módulo da intensidade magnética na extremidade, em unidades do SI, é \,37,5\\ \mathrm{A/m}.
Observação didática rápida: se você quisesse o campo B correspondente na extremidade, bastaria multiplicar por \mu_0:
B_{\text{extremidade}}=\mu_0 H_{\text{extremidade}}\approx 4\pi\times10^{-7}\times 37,5\approx 4,71\times10^{-5}\\ \mathrm{T},
mas o enunciado pediu apenas |H|.

Resposta

37,5\\ \mathrm{A/m}

Exercícios relacionados