Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em
((0,0,0)) e ((0,0,4)) e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma “bobina de Helmholtz”). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de (5 \mathrm{~A} \mathrm{em}\mathbf{a}_{phi})), calcule (\mathbf{H} \mathrm{em}) :
((0,0,2))

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Duas espiras circulares idênticas com centros em (0,0,0) e (0,0,4).
  • Os eixos das espiras estão ao longo do eixo z (cada espira está contida num plano xy).
  • Cada espira tem raio \,R=2\\ \mathrm{m}\,.
  • Cada espira é percorrida por uma corrente de intensidade \,I=5\\ \mathrm{A}\, (a corrente segue a direção azimutal \mathbf{a}_{\varphi} ao redor de cada espira).
  • Ponto onde queremos o campo: (0,0,2), isto é, o ponto exatamente no meio entre as duas espiras (distância 2\\ \mathrm{m} de cada centro).

    O que o enunciado pede:
  • Calcular o vetor intensidade de campo magnético \mathbf{H} no ponto (0,0,2).

    Observação: as espiras estão no vácuo (ou ar), portanto a relação entre \mathbf{B} e \mathbf{H} é \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}, com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 2

Entender a fórmula do campo no eixo de uma espira circular — aula rápida e prática.

Considere uma espira circular de raio \,R centrada na origem, no plano xy, percorrida por corrente I. Pelo teorema de Biot–Savart e simetria, o campo magnético ao longo do eixo (z-axis ) da espira tem somente componente na direção z. A expressão conhecida (e que pode ser obtida integrando o Biot–Savart) para a componente axial do campo \mathbf{B} a uma distância \,x\, do centro da espira é
B_z(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}).
  • I é a corrente na espira (em ampères).
  • R é o raio da espira (em metros).
  • x é a distância ao longo do eixo z desde o centro da espira até o ponto onde se calcula o campo (em metros).
  • B_z(x) é a componente do vetor \mathbf{B} na direção z (em tesla).

    Observação didática curta sobre sinal/direção: o sentido (positivo ou negativo) de B_z depende do sentido da corrente pela regra da mão direita. Aqui vamos tomar o sentido tal que o campo resultante no ponto entre as bobinas fique no sentido positivo de z (se a corrente circular gera esse sentido); no final a magnitude e o sinal acompanham essa regra.

Passo 3

Aplicar a fórmula a cada espira e somar as contribuições.

No nosso caso:
  • Cada espira tem R=2\\ \mathrm{m}.
  • O ponto (0,0,2) está a uma distância x=2\\ \mathrm{m} do centro de cada espira (porque os centros estão em z=0 e z=4, e o ponto está em z=2, exatamente no meio).

    Portanto a contribuição de uma espira é
B_{z,\text{uma}}=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}} \quad\text{com}\quad R=2,\\ x=2.

Passo 4

Calcular explicitamente os termos numéricos dentro da fórmula antes de simplificar.

Calcule R^{2} e x^{2}:
R^{2}=2^{2}=4,\qquad x^{2}=2^{2}=4.
Logo
R^{2}+x^{2}=4+4=8.
Agora a potência:
\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}=8^{3/2}.
Lembre que 8^{3/2}=8\sqrt{8} e \sqrt{8}=2\sqrt{2}, então
8^{3/2}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.

Passo 5

Substituir esses valores na expressão de B_{z,\text{uma}} e simplificar simbolicamente.
B_{z,\text{uma}}=\frac{\mu_0 I \cdot 4}{2\cdot 16\sqrt{2}} =\frac{\mu_0 I}{8\sqrt{2}}.
Como há duas espiras idênticas que dão contribuições na mesma direção, o campo total \mathbf{B} no ponto é o dobro:
B_{z,\text{total}}=2\cdot B_{z,\text{uma}}=2\cdot\frac{\mu_0 I}{8\sqrt{2}} =\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}}.
Portanto o vetor \mathbf{B} é
\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z}.

Passo 6

Passar de \mathbf{B} para \mathbf{H} (o que o enunciado pede) usando a relação no vácuo.

Em vácuo temos
\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}.
Substituindo \mathbf{B} encontrado:
\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\cdot\frac{\mu_{0} I}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z} =\frac{I}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z}.

Passo 7

Substituir o valor numérico de I para obter o valor final em unidades práticas e dar aproximação numérica.

Com I=5\\ \mathrm{A},
\mathbf{H}=\frac{5}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}.
Calcule numericamente:
4\sqrt{2}=4\cdot 1{,}41421356\ldots \approx 5{,}656854,
\frac{5}{4\sqrt{2}}\approx\frac{5}{5{,}656854}\approx 0{,}88388\\ \mathrm{A/m}.
Portanto
\mathbf{H}\approx 0{,}8839\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}=\frac{I}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z}=\frac{5}{4\sqrt{2}}\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}\approx 0{,}8839\\ \mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}

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