Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em
((0,0,0)) e ((0,0,4)) e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma “bobina de Helmholtz”). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de (5 \mathrm{~A} \mathrm{em}\mathbf{a}_{phi})), calcule (\mathbf{H} \mathrm{em}) :
((0,0,2))
((0,0,0)) e ((0,0,4)) e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma “bobina de Helmholtz”). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de (5 \mathrm{~A} \mathrm{em}\mathbf{a}_{phi})), calcule (\mathbf{H} \mathrm{em}) :
((0,0,2))
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Duas espiras circulares idênticas com centros em
e . - Os eixos das espiras estão ao longo do eixo
(cada espira está contida num plano ). - Cada espira tem raio
. - Cada espira é percorrida por uma corrente de intensidade
(a corrente segue a direção azimutal ao redor de cada espira). - Ponto onde queremos o campo:
, isto é, o ponto exatamente no meio entre as duas espiras (distância de cada centro).
O que o enunciado pede:
- Calcular o vetor intensidade de campo magnético
no ponto .
Observação: as espiras estão no vácuo (ou ar), portanto a relação entree é , com .
Passo 2
Entender a fórmula do campo no eixo de uma espira circular — aula rápida e prática.
Considere uma espira circular de raio centrada na origem, no plano
, percorrida por corrente
. Pelo teorema de Biot–Savart e simetria, o campo magnético ao longo do eixo
-axis
da espira tem somente componente na direção
. A expressão conhecida (e que pode ser obtida integrando o Biot–Savart) para a componente axial do campo
a uma distância
do centro da espira é
Considere uma espira circular de raio
Explicando cada símbolo:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente na espira (em ampères). -
é o raio da espira (em metros). -
é a distância ao longo do eixo desde o centro da espira até o ponto onde se calcula o campo (em metros). -
é a componente do vetor na direção (em tesla).
Observação didática curta sobre sinal/direção: o sentido (positivo ou negativo) dedepende do sentido da corrente pela regra da mão direita. Aqui vamos tomar o sentido tal que o campo resultante no ponto entre as bobinas fique no sentido positivo de (se a corrente circular gera esse sentido); no final a magnitude e o sinal acompanham essa regra.
Passo 3
Aplicar a fórmula a cada espira e somar as contribuições.
No nosso caso:
No nosso caso:
- Cada espira tem
. - O ponto
está a uma distância do centro de cada espira (porque os centros estão em e , e o ponto está em , exatamente no meio).
Portanto a contribuição de uma espira é
Passo 4
Calcular explicitamente os termos numéricos dentro da fórmula antes de simplificar.
Calcule e
:
Calcule
Logo
Agora a potência:
Lembre que
e
, então
Passo 5
Substituir esses valores na expressão de
e simplificar simbolicamente.
Como há duas espiras idênticas que dão contribuições na mesma direção, o campo total
no ponto é o dobro:
Portanto o vetor
é
Passo 6
Passar de
para
(o que o enunciado pede) usando a relação no vácuo.
Em vácuo temos
Em vácuo temos
Substituindo
encontrado:
Passo 7
Substituir o valor numérico de
para obter o valor final em unidades práticas e dar aproximação numérica.
Com ,
Com
Calcule numericamente:
Portanto