7.15 Um solenóide, de raio 4 mm e comprimento 2 cm , tem 150 espiras (/ \mathrm{m}) e é percorrido por uma corrente de 500 mA . Determine:
|H| no centro;

Passo 1

O enunciado pede o módulo de H no centro de um solenóide. Dados fornecidos (já convertidos para o SI):
\text{raio } a = 4\\ \mathrm{mm} = 0,004\\ \mathrm{m}
\text{comprimento } l = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}
\text{densidade de espiras } n = 150\\ \text{espiras/m}
\text{corrente } I = 500\\ \mathrm{mA} = 0,5\\ \mathrm{A}
Pergunta: determinar |H| (módulo de H) no centro do solenóide.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
A grandeza H é o campo magnético em unidades de ampère por metro. Para correntes livres num solenóide podemos aplicar a Lei de Ampère no formato para H:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{enc}}
Isto significa: a circulação de H ao longo de um caminho fechado é igual à corrente livre envolvida por esse caminho. Para um solenóide longo, a melhor escolha é um laço retangular cujo lado longo vai pelo interior do solenóide (onde H é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo) e o lado paralelo fora do solenóide (onde H é desprezível). Se o lado interno tem comprimento l_{\text{amp}}, a circulação dá H\,l_{\text{amp}}. A corrente total atravessando o laço é o número de espiras dentro do comprimento l_{\text{amp}} multiplicado por I. Como o número de espiras por unidade de comprimento é n, o número de espiras dentro de l_{\text{amp}} é n\,l_{\text{amp}}. Logo:
H\,l_{\text{amp}} = (n\,l_{\text{amp}})\,I \quad\Rightarrow\quad H = n\,I.
Explicando as variáveis:
  • H é o módulo do campo magnético (A/m) dentro do solenóide;
  • n é o número de espiras por metro (espiras/m);
  • I é a corrente que percorre cada espira (A).
    Observação didática: essa dedução usa a aproximação de solenóide “longo” (campo uniforme no interior e pequeno fora). Quanto maior a relação l/a, melhor a aproximação. Aqui l/a = 0,02/0,004 = 5, então a aproximação é razoável, embora o número total de espiras seja pequeno (ver próximo passo).

Passo 3

Verificação rápida dos dados (útil para intuir se a aproximação é problemática):
N = n\,l = 150\\ \mathrm{espiras/m}\times 0,02\\ \mathrm{m} = 3\\ \text{espiras no comprimento total}.
Comentário amigo: são só 3 espiras no total — isso indica que na prática o campo real no centro pode diferir da expressão ideal H=nI porque o solenóide não é realmente “muito longo” nem tem muitas espiras. Porém, como o enunciado fornece n e pede |H| no centro, o método padrão de prova é usar H=nI. Vamos seguir esse método porque é o mais básico e o que o professor espera.

Passo 4

Aplicando a fórmula H = n\,I e substituindo os números:
H = n\,I = 150\\ \mathrm{m^{-1}}\times 0,5\\ \mathrm{A} = 75\\ \mathrm{A/m}.
Cálculo explicado: 150\times 0,5 = 75. Unidade: \mathrm{m^{-1}\cdot A} = \mathrm{A/m}.

Passo 5

Contextualizando (aula curta extra só pra firmar a ideia): se você quiser o campo magnético \mathbf{B} correspondente, usa-se \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H} no vácuo, com \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Então
B=\mu_0 H = 4\pi\times 10^{-7}\times 75 \approx 9{,}42\times 10^{-5}\\ \mathrm{T},
apenas pra você ter uma noção da ordem de grandeza do campo (não era pedido, só reforço didático). Força: não desanima — a conta de H=nI é curta e direto ao ponto na prova.

Resposta

\;75\\ \mathrm{A/m}

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