12ª Questão: Resolva utilizando a convolução
y(t)=t^{2}+\int_{0}^{t} y(x) \operatorname{sen}(t-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Volterra
y(t)=t^{2}+\int_{0}^{t}y(x)\,\operatorname{sen}(t-x)\,dx
Isso é uma equação de convolução do tipo
y(t)=f(t)+\bigl(y * K\bigr)(t),
com f(t)=t^2 e K(t)=\operatorname{sen} t. Para resolver, vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de convolução.

Passo 2

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),
temos
\mathcal{L}\{y(t)\} =\mathcal{L}\{t^2\} +\mathcal{L}\{\,(y*K)(t)\}.
Pela propriedade de convolução
\mathcal{L}\{(y*K)(t)\}=Y(s)\,\mathcal{L}\{K(t)\}. Logo
Y(s)=F(s)+Y(s)\,K(s).

Passo 3

Calcule
F(s)=\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3}, \qquad K(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}=\frac{1}{s^2+1}.
Substituindo em
Y(s)=\frac{2}{s^3}+Y(s)\,\frac{1}{s^2+1}
obtemos
Y(s)\Bigl(1-\frac{1}{s^2+1}\Bigr)=\frac{2}{s^3}.

Passo 4

Simplifique o fator
1-\frac{1}{s^2+1} =\frac{s^2+1-1}{s^2+1} =\frac{s^2}{s^2+1},
então
Y(s) =\frac{2}{s^3}\,\frac{s^2+1}{s^2} =\frac{2(s^2+1)}{s^5} =\frac{2}{s^3}+\frac{2}{s^5}.

Passo 5

Agora fazemos a inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s^3}\Bigr\} =2\cdot\frac{t^2}{2!}=t^2, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s^5}\Bigr\} =2\cdot\frac{t^4}{4!}=\frac{t^4}{12}.
Somando, chega-se a
y(t)=t^2+\frac{t^4}{12}.

Resposta

y(t)=t^2+\frac{t^4}{12}.

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