1.15 Use a construção de Huygens para responder a seguinte pergunta. Suponha que uma onda esférica esteja incidindo sobre uma superfície plana. A onda refletida é esférica?
Passo 1
O enunciado dá: uma onda esférica incide sobre uma superfície plana (um espelho ideal). A pergunta é direta: a onda refletida é esférica?
Informações relevantes que temos (escritas de forma clara para usar depois):
Informações relevantes que temos (escritas de forma clara para usar depois):
- Existe uma fonte pontual real
que emite ondas esféricas (cada frente de onda é uma esfera centrada em ). - Há um plano refletor liso e ideal.
- Quer-se saber a forma da frente de onda refletida (se é esfera e, em caso afirmativo, onde fica seu centro).
Passo 2
Vou lembrar a ideia-chave que vamos usar: o princípio de Huygens. Ele diz, em palavras simples e úteis para resolver isso:
- Cada ponto de uma frente de onda pode ser tratado como uma fonte secundária que emite, a partir desse ponto, ondas secundárias (pequenas esferas) com a mesma velocidade
e com fase determinada pela frente de onda incidente nesse ponto. - A frente de onda em um tempo seguinte é a envoltória (envelope) desses pequenos pulsos secundários.
Essa é a ferramenta geométrica: construímos a frente nova como envelope das ondas secundárias.
Passo 3
Defino a geometria com nomes para ficar organizado:
-
é o centro da onda esférica incidente (a fonte real). - O plano refletor é fixo; escolhe-se um ponto qualquer
sobre esse plano onde uma onda secundária será gerada. - Denoto por
a imagem especular de em relação ao plano (o ponto que é a reflexão de através do plano). Geometricamente, está do outro lado do plano à mesma distância que , e a linha é perpendicular ao plano.
Explico por que definimos
: em percepções ópticas e acústicas, frequentemente a reflexão numa superfície plana pode ser entendida como se uma fonte imagem estivesse atrás do plano; vamos ver isso com Huygens.
Passo 4
Agora faço a construção de Huygens aplicada à reflexão. Pegue um instante em que a frente incidente atinge vários pontos
sobre o plano. Para cada ponto
do plano:
- A frente incidente tem uma certa fase naquele
; por Huygens, age como uma fonte secundária. - Como o plano é refletor, o que efetivamente ocorre é que cada ponto
reemite uma onda secundária para o lado do espaço onde observamos a reflexão (mesma frequência, mesma velocidade, mas com direção determinada pela reflexão).
Construa, então, para cada
uma pequena esfera de raio
(onde
é a velocidade de propagação e
é um pequeno intervalo de tempo) centrada em
. A frente refletida depois desse tempo será a envoltória dessas pequenas esferas.
Passo 5
Agora uso a simetria do problema: como
é a imagem especular de
em relação ao plano, para qualquer ponto
do plano vale
isto é,
está à mesma distância de
e de
. Isso significa que a fase da onda incidente em
(que depende de
) é a mesma que seria a fase de uma onda hipotética emitida por
em
.
Portanto, se eu imaginasse uma fonte fictícia em
emitindo ondas (sem o plano presente), a onda dessa fonte em
teria exatamente a mesma fase que a onda incidente do
tem em
. Como as leis de reflexão em um plano trocam a componente normal da direção (ou, dito de outro modo, realizam a imagem especular), os pulsos reemitidos por
na reflexão têm a mesma fase e direção espacial que teriam se viessem de
.
Passo 6
Interpretação com Huygens: cada ponto
do plano reemite uma onda secundária cujo aspeto (fase e forma local) coincide com o que seria reemitido por
se a fonte verdadeira fosse
(a imagem). Logo, o conjunto das ondas secundárias refletidas tem o mesmo envelope que o conjunto das ondas secundárias que viria de uma fonte pontual em
no espaço sem o espelho.
Assim, a envoltória das pequenas esferas emitidas por todos os
do plano — que é a frente refletida real — coincide com a frente de onda que seria produzida por uma fonte pontual colocada em
.
Passo 7
Concluo, então, o resultado geométrico e físico:
- A frente de onda refletida é uma frente esférica.
- O centro dessa esfera é exatamente
, a imagem especular de em relação ao plano. Em termos práticos, a reflexão por um plano transforma uma onda esférica originada em numa onda esférica que parece ter sido emitida por .
Uma maneira intuitiva de lembrar: os raios refletidos provenientes de
se comportam como se viessem de
(lei das imagens); por Huygens isso se traduz na frente de onda sendo uma esfera centrada em
.
Passo 8
Observações importantes (limitações e casos particulares):
- Isso vale para um espelho ideal e para regiões onde o espelho cobre toda a frente incidente de interesse. Se o espelho for pequeno, a frente refletida só existirá parcialmente (apenas a parte correspondente aos
presentes) — então não se forma necessariamente uma esfera completa no espaço observado, mas localmente a curvatura será a mesma da esfera de centro . - Se a fonte estiver no infinito (uma onda praticamente plana), a imagem também está no infinito e a onda refletida será praticamente plana (recuperando o caso do feixe plano).
- Imperfeições do espelho (rugosidade, absorção) ou fenômenos de difração em bordas podem destruir essa simplicidade, mas para um plano ideal e regiões externas suficientemente próximas ao espelho a conclusão vale.
Resposta
Sim. A onda refletida é esférica, sendo o centro da esfera a imagem especular
da fonte
em relação ao plano refletor.