1.43

Um objeto é colocado na frente de um espelho esférico convexo. Descreva a imagem.

Passo 1

O enunciado diz: “Um objeto é colocado na frente de um espelho esférico convexo. Descreva a imagem.”
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Há um espelho esférico convexo e um objeto colocado na frente dele (ou seja, do lado onde chegam os raios de luz).
  • Não há posição numérica do objeto nem dimensões; pede-se uma descrição qualitativa da imagem formada.
    O que é pedido:
  • Descrever as características da imagem formada pelo espelho convexo (posição relativa ao espelho, se é real ou virtual, orientação, tamanho relativo ao objeto, e sinal da ampliação).

Passo 2

Entendimento físico e desenho mental dos raios (ideia intuitiva).
  • Num espelho convexo a superfície refletora é a parte externa de uma esfera (como a parte externa de uma colher). Os raios incidentes que vêm do objeto e incidem no espelho são refletidos de maneira que divergem (afastam-se entre si) depois de refletidos.
  • Como os raios refletidos divergem, eles não se encontram no espaço físico do lado do objeto; porém, se estendermos esses raios refletidos para trás do espelho (prolongamentos), eles se encontram num ponto atrás do espelho. Esse ponto de encontro dos prolongamentos é onde o observador vê a imagem — portanto a imagem é virtual (não pode ser projetada numa tela), e parece estar atrás do espelho.
    Aqui já temos a ideia: imagem formada atrás do espelho, por prolongamento dos raios, i.e., virtual.

Passo 3

Apresentando a equação dos espelhos e a convenção de sinais (fórmula que permite quantificar posição e tamanho da imagem).
  • A equação dos espelhos esféricos (para qualquer espelho esférico, com a convenção de sinais cartesiana usual) é:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
  • f é a distância focal (medida a partir do vértice do espelho até o foco),
  • p é a distância do objeto ao vértice (também chamada de s em alguns textos),
  • q é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem está do mesmo lado dos raios refletidos reais, negativa se estiver atrás do espelho — atenção à convenção).
  • Para um espelho convexo, o foco está atrás do espelho. Usando a convenção onde distâncias medidas no sentido de incidência dos raios são positivas, para espelho convexo temos:
    • p>0 (objeto na frente do espelho),
    • f<0 (foco atrás do espelho), portanto o raio de curvatura R=2f também é negativo.
  • A ampliação linear (razão entre altura da imagem e altura do objeto) é dada por:
m=\frac{h_\text{imagem}}{h_\text{objeto}}=-\frac{q}{p}.
Interpretando o sinal: se m>0 a imagem é direita (erecta); se m<0 a imagem é invertida. O valor absoluto |m| diz o fator de redução/agrandamento.

Passo 4

Uso da equação para concluir propriedades (cálculo geral sem números específicos).
  • Substituindo sinais: com p>0 e f<0 na equação
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}=\frac{p-f}{f p}.
Multiplicando,
q=\frac{f p}{p-f}.
  • Como f<0 e p>0, o denominador p-f=p+|f|>0. Assim q será negativo (produto de f<0 por p>0 dividido por positivo), ou seja, \emph{a imagem está atrás do espelho} — imagem virtual.
  • Agora ver qual é o tamanho relativo (valor absoluto da ampliação). Da expressão de q segue
|q|=\frac{|f|\,p}{p+|f|}.
Como p+|f|>p temos |q|<p. Portanto
|m|=\frac{|q|}{p}<1.
Logo a ampliação é positiva ( m>0, porque q<0 torna -q>0) e menor que 1. Conclusões:
  • m>0 ⇒ imagem direita (não invertida).
  • |m|<1 ⇒ imagem reduzida (menor que o objeto).

Passo 5

Localização mais precisa da imagem relativa ao foco e ao vértice.
  • Da fórmula |q|=\dfrac{|f|\,p}{p+|f|} segue que |q|<|f|. Isso significa que a imagem virtual fica “mais perto” do vértice do espelho do que o foco (considerando distâncias medidas atrás do espelho): a imagem está situada atrás do espelho entre o vértice e o foco (isto é, a uma distância menor do vértice que a distância focal em módulo).
  • Limites úteis para intuição:
    • Se p\to\infty (objeto muito distante), então q\to f (a imagem se aproxima do foco virtual, ainda atrás do espelho) e |m|\to |f|/p\to 0 (imagem muito pequena).
    • Se p fica muito pequeno (objeto bem próximo do espelho), |q| também fica pequeno, mas ainda |q|<|f| e |m|<1. Em todo caso, imagem sempre virtual, direita e reduzida.

Passo 6

Construção de raios (como desenhar a imagem num exercício ou prova) — receita prática de três raios principais (muito útil na prova!):
  • Raio 1: traçar um raio que sai do topo do objeto e vai paralelo ao eixo principal; esse raio, ao refletir no espelho convexo, diverge como se viesse do foco atrás do espelho. Para localizar a imagem, prolongue o raio refletido para trás até que encontre os outros prolongamentos de raios.
  • Raio 2: traçar um raio que incide dirigido ao centro de curvatura (para espelho convexo esse centro está atrás do espelho); esse raio é refletido de volta ao longo da mesma linha (no desenho prático, usa-se o fato de que o raio refletido parece sair do centro). No caso convexo, normalmente se traça o raio que aponta para o ponto virtual do centro; o prolongamento do refletido também passa por esse ponto.
  • Raio 3: traçar um raio que, se prolongado para trás, passaria pelo foco; o raio refletido sai paralelo ao eixo. Em desenhos de espelho convexo, geralmente dois raios cujos prolongamentos se cruzam atrás do espelho já bastam para localizar a imagem virtual.
    Regra prática: os prolongamentos dos raios refletidos se interceptam atrás do espelho; essa interseção dá a posição da imagem (virtual), e a razão entre as distâncias verticais dá a ampliação.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): seja p=30\\ \text{cm} e f=-10\\ \text{cm}.
  • Calcular q:
q=\frac{f p}{p-f}=\frac{(-10)\cdot 30}{30-(-10)}=\frac{-300}{40}=-7{,}5\\ \text{cm}.
Interpretação: imagem a 7{,}5\\ \text{cm} atrás do espelho (virtual).
  • Ampliação:
m=-\frac{q}{p}=-\frac{-7{,}5}{30}=0{,}25.
Interpretação: imagem direita ( m>0) e com 25\% do tamanho do objeto (reduzida). Esse exemplo confirma as conclusões gerais.

Resposta

A imagem é virtual, situada atrás do espelho entre o vértice e o foco; é direita (erecta) e reduzida (menor que o objeto), com ampliação positiva e menor que 1.

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