1.16 A luz leva 10^{-6} \mathrm{~s} para se propagar de um ponto a outro em um meio de índice de refração n=2. Calcule:
(a) a distância entre estes dois pontos;
(b) o caminho óptico entre estes dois pontos;
(c) Qual seria a distância percorrida pela luz no mesmo intervalo de tempo caso ela se propagasse no vácuo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi retirado do enunciado):
  • Tempo de propagação: t=10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • Índice de refração do meio: n=2.
O enunciado pede três coisas:
(a) a distância física entre os dois pontos percorrida pela luz no meio (ou seja, o comprimento geométrico do trajeto, em metros);
(b) o caminho óptico entre esses pontos;
(c) qual seria a distância percorrida pela luz no mesmo intervalo de tempo se ela estivesse no vácuo.
Também usarei a constante velocidade da luz no vácuo aproximada por \,c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender a relação entre índice de refração e velocidade: o índice de refração n é definido por
n=\frac{c}{v},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio. Desse modo a velocidade da luz no meio é
v=\frac{c}{n}.
Agora calculamos v com os números dados:
v=\frac{3\times10^{8}}{2}=1{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação simples: como n=2, a luz no meio vai com metade da velocidade que teria no vácuo.

Passo 3

Calcular a distância física percorrida no meio. A distância física d é velocidade vezes tempo:
d=v\,t.
Substituindo v=1{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e t=10^{-6}\\ \mathrm{s}:
d=1{,}5\times10^{8}\cdot10^{-6}=1{,}5\times10^{2}\\ \mathrm{m}=150\\ \mathrm{m}.
Vou explicar a conta com potências de dez: 10^{8}\cdot10^{-6}=10^{2}, e 1{,}5\times10^{2}=150.

Passo 4

Calcular o caminho óptico. Definição didática: o caminho óptico (OPL) entre dois pontos é
L_{\text{óptico}}=\int n\,ds.ó
Para um meio homogêneo com índice constante n isso vira simplesmente
L_{\text{óptico}}=n\cdot d,ó
onde d é a distância física entre os pontos. Usando n=2 e d=150\\ \mathrm{m}:
L_{\text{óptico}}=2\cdot150=300\\ \mathrm{m}.ó
Comentário intuitivo: o caminho óptico mede “quantos metros no vácuo” aquela travessia equivale, por isso cresce com n.

Passo 5

Calcular a distância que a luz percorreria no vácuo no mesmo tempo. No vácuo a velocidade é c, então
d_{\text{vácuo}}=c\,t.á
Com c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e t=10^{-6}\\ \mathrm{s}:
d_{\text{vácuo}}=3\times10^{8}\cdot10^{-6}=3\times10^{2}\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{m}.á
Observação (útil para prova): note que algebraicamente
L_{\text{óptico}}=n\cdot d = n\cdot\left(\frac{c}{n}t\right)=c\,t=d_{\text{vácuo}},óá
ou seja, o caminho óptico em um meio homogêneo é igual à distância que a luz percorreria no vácuo no mesmo tempo — por isso L_{\text{óptico}}=300\\ \mathrm{m}ó coincide com d_{\text{vácuo}}=300\\ \mathrm{m}á.

Resposta

(a) 150\\ \mathrm{m}
(b) 300\\ \mathrm{m}
(c) 300\\ \mathrm{m}

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