3.153 Para o eixo de alumínio mostrado (
), determine (a) o torque T que causa um ângulo de giro de
e (b) o ângulo de giro causado pelo mesmo toque T em um eixo cilíndrico sólido com o mesmo comprimento e área de seção transversal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) o torque
que provoca um ângulo de giro de no eixo de alumínio mostrado (dado: ); - (b) o ângulo de giro causado por esse mesmo torque
em um eixo cilíndrico sólido com o mesmo comprimento e mesma área de seção transversal.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
-
; - ângulo pedido em (a):
; - no item (b) o comprimento
e a área da seção transversal do eixo sólido são iguais às do eixo mostrado.
Informações que deveriam vir da figura (e que são necessárias para um cálculo numérico):
- comprimento do eixo
; - dimensões da seção transversal do eixo mostrado (por exemplo, diâmetro externo
e diâmetro interno , caso seja um eixo oco), ou ao menos o momento polar de inércia do eixo mostrado; - ou, alternativamente, a área
e a forma geométrica completa que permitam calcular .
Observação importante: a figura referida no enunciado NÃO foi enviada. Sem os dados geométricos (por exemplo
,
,
ou
) não é possível obter valores numéricos para
e para o ângulo no eixo sólido. Vou então:
- explicar passo a passo a teoria e as fórmulas que permitem resolver (a) e (b) quando os parâmetros geométricos estiverem disponíveis;
- derivar fórmulas explícitas que relacionam
, os diâmetros e os ângulos, mostrando como calcular numericamente assim que os valores da figura forem fornecidos; - mostrar uma relação elegante entre os ângulos que dispensa
, o que já permite calcular a razão entre os ângulos usando apenas os diâmetros.
Passo 2
Regra básica da torção para um eixo circular de comprimento uniforme: o ângulo de torção
(em radianos) sob um torque
é dado por
onde:
-
é o ângulo de torção em radianos; -
é o torque aplicado (unidade: N·m); -
é o comprimento do eixo (m); -
é o módulo de cisalhamento do material (Pa); -
é o momento polar de inércia da seção transversal (m^4), também chamado de constante de torção.
Explicando com calma:
- A fórmula significa: quanto maior o torque
, maior o ângulo; quanto maior o módulo (material mais “rígido” ao cisalhamento) ou o momento polar (seção mais resistente à torção), menor será o ângulo. - Importante: na fórmula
deve estar em radianos. Para converter graus para radianos usa-se
No problema temos
, logo
Passo 3
Fórmulas para o momento polar de inércia
de seção circular:
- para um eixo cilíndrico sólido de diâmetro
:
- para um eixo circular oco (casco) com diâmetro externo
e interno :
Também é útil a relação entre área e diâmetro:
- área de um círculo sólido:
; - área de uma seção anular:
.
Vou mostrar uma transformação útil que liga
diretamente à área
do círculo sólido (porque o enunciado pede “mesma área”):
partindo de temos
e então
partindo de
Substituindo em
obtemos
Portanto, para um círculo sólido com área
,
Essa forma é prática quando sabemos a área mas não o diâmetro diretamente.
Passo 4
Expressão do torque
para o eixo mostrado (supondo que seja oco/cilíndrico com momento polar
): a partir de
temos
Especializando para o eixo oco:
Isso é uma fórmula pronta: para calcular numericamente
precisa-se de
(já dado), de
(já convertido para radianos), de
e de
e
(estes vêm da figura).
Sem os valores numéricos de
,
,
(ou sem o valor de
direto) não se pode dar o valor numérico de
. Quando a figura for enviada com as dimensões, basta substituir na expressão acima.
Passo 5
Agora o item (b): ângulo de giro
do eixo cilíndrico sólido (mesmo comprimento
e mesma área
) sob o MESMO torque
.
Usando
e substituindo
(do caso do eixo mostrado) obtemos
Ou seja, o ângulo no sólido é o ângulo original multiplicado pela razão dos momentos polares.
Agora use as expressões para
. Seja
e
. Então
E, como mostrado antes, para o sólido com a mesma área
resulta
Logo a razão é
Voltando a
e
, obtemos a fórmula muito conveniente
Observações sobre essa fórmula:
- é independente de
, e até mesmo da área ; depende apenas das dimensões relativas da seção oca do eixo original; - se o eixo original fosse maciço (
), a fórmula dá , isto é, óbvio: comparar o sólido com ele próprio dá mesmo ângulo; - para um eixo bastante fino (
próximo de ), o denominador fica pequeno e pode ser muito maior que — faz sentido físico: o mesmo torque aplicado a um sólido (que então teria diâmetro grande para manter mesma área) pode causar giro maior se o eixo oco tiver J proporcionalmente maior.
Passo 6
Resumo prático do que fazer assim que a figura (ou os valores numéricos) for fornecida:
- calcule
em radianos: ; - calcule
; - calcule
→ isso responde (a); - calcule
→ isso responde (b) sem precisar de nem de .
Se você mandar os valores de
,
e
(ou a própria figura com as dimensões), eu faço as contas numéricas passo a passo e te entrego
e
prontos para a prova.
Força aí — já tens as fórmulas e o fluxo de cálculo; faltam só os números da figura que não veio.
Resposta
(a)
, com
.
(b) .
(b)