3.153 Para o eixo de alumínio mostrado ( G=27 \mathrm{GPa} ), determine (a) o torque T que causa um ângulo de giro de 4^{\circ} e (b) o ângulo de giro causado pelo mesmo toque T em um eixo cilíndrico sólido com o mesmo comprimento e área de seção transversal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o torque T que provoca um ângulo de giro de 4^\circ no eixo de alumínio mostrado (dado: G=27\\ \mathrm{GPa});
  • (b) o ângulo de giro causado por esse mesmo torque T em um eixo cilíndrico sólido com o mesmo comprimento e mesma área de seção transversal.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
  • G=27\\ \mathrm{GPa};
  • ângulo pedido em (a): 4^\circ;
  • no item (b) o comprimento L e a área da seção transversal A do eixo sólido são iguais às do eixo mostrado.
Informações que deveriam vir da figura (e que são necessárias para um cálculo numérico):
  • comprimento do eixo L;
  • dimensões da seção transversal do eixo mostrado (por exemplo, diâmetro externo d_o e diâmetro interno d_i, caso seja um eixo oco), ou ao menos o momento polar de inércia J do eixo mostrado;
  • ou, alternativamente, a área A e a forma geométrica completa que permitam calcular J.
Observação importante: a figura referida no enunciado NÃO foi enviada. Sem os dados geométricos (por exemplo L, d_o, d_i ou J) não é possível obter valores numéricos para T e para o ângulo no eixo sólido. Vou então:
  • explicar passo a passo a teoria e as fórmulas que permitem resolver (a) e (b) quando os parâmetros geométricos estiverem disponíveis;
  • derivar fórmulas explícitas que relacionam T, os diâmetros e os ângulos, mostrando como calcular numericamente assim que os valores da figura forem fornecidos;
  • mostrar uma relação elegante entre os ângulos que dispensa L, o que já permite calcular a razão entre os ângulos usando apenas os diâmetros.

Passo 2

Regra básica da torção para um eixo circular de comprimento uniforme: o ângulo de torção \theta (em radianos) sob um torque T é dado por
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \theta é o ângulo de torção em radianos;
  • T é o torque aplicado (unidade: N·m);
  • L é o comprimento do eixo (m);
  • G é o módulo de cisalhamento do material (Pa);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (m^4), também chamado de constante de torção.
Explicando com calma:
  • A fórmula significa: quanto maior o torque T, maior o ângulo; quanto maior o módulo G (material mais “rígido” ao cisalhamento) ou o momento polar J (seção mais resistente à torção), menor será o ângulo.
  • Importante: na fórmula \theta deve estar em radianos. Para converter graus para radianos usa-se
\theta_{\text{(rad)}}=\theta_{\text{(deg)}}\cdot\frac{\pi}{180}.
No problema temos \theta_{\text{(deg)}}=4^\circ, logo
\theta=\;4^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{4\pi}{180}=\frac{\pi}{45}\\ \text{rad}\approx0{,}06981\\ \text{rad}.

Passo 3

Fórmulas para o momento polar de inércia J de seção circular:
  • para um eixo cilíndrico sólido de diâmetro d:
J_{\text{sol}}=\frac{\pi}{32}\,d^{4}.
  • para um eixo circular oco (casco) com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{oco}}=\frac{\pi}{32}\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right).
Também é útil a relação entre área e diâmetro:
  • área de um círculo sólido: A=\dfrac{\pi}{4}d^{2};
  • área de uma seção anular: A=\dfrac{\pi}{4}\left(d_{o}^{2}-d_{i}^{2}\right).
Vou mostrar uma transformação útil que liga J_{\text{sol}} diretamente à área A do círculo sólido (porque o enunciado pede “mesma área”):
partindo de A=\dfrac{\pi}{4}d^{2} temos d^{2}=\dfrac{4A}{\pi} e então
d^{4}=\left(\dfrac{4A}{\pi}\right)^{2}=\dfrac{16A^{2}}{\pi^{2}}.
Substituindo em J_{\text{sol}}=\dfrac{\pi}{32}d^{4} obtemos
J_{\text{sol}}=\frac{\pi}{32}\cdot\frac{16A^{2}}{\pi^{2}}=\frac{A^{2}}{2\pi}.
Portanto, para um círculo sólido com área A,
J_{\text{sol}}=\frac{A^{2}}{2\pi}.
Essa forma é prática quando sabemos a área mas não o diâmetro diretamente.

Passo 4

Expressão do torque T para o eixo mostrado (supondo que seja oco/cilíndrico com momento polar J_{\text{oco}}): a partir de \theta=\dfrac{T L}{G J} temos
T=\frac{G\,J\,\theta}{L}.
Especializando para o eixo oco:
T=\frac{G}{L}\left(\frac{\pi}{32}\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr)\right)\theta.
Isso é uma fórmula pronta: para calcular numericamente T precisa-se de G (já dado), de \theta (já convertido para radianos), de L e de d_o e d_i (estes vêm da figura).
Sem os valores numéricos de L, d_o, d_i (ou sem o valor de J_{\text{oco}} direto) não se pode dar o valor numérico de T. Quando a figura for enviada com as dimensões, basta substituir na expressão acima.

Passo 5

Agora o item (b): ângulo de giro \theta_{\text{sol}} do eixo cilíndrico sólido (mesmo comprimento L e mesma área A) sob o MESMO torque T.
Usando \theta_{\text{sol}}=\dfrac{T L}{G J_{\text{sol}}} e substituindo T=\dfrac{G J_{\text{oco}}\theta}{L} (do caso do eixo mostrado) obtemos
\theta_{\text{sol}}=\frac{T L}{G J_{\text{sol}}} =\frac{\bigl(G J_{\text{oco}}\theta/L\bigr)L}{G J_{\text{sol}}} =\theta\;\frac{J_{\text{oco}}}{J_{\text{sol}}}.
Ou seja, o ângulo no sólido é o ângulo original multiplicado pela razão dos momentos polares.
Agora use as expressões para J. Seja x=d_o^{2} e y=d_i^{2}. Então
J_{\text{oco}}=\frac{\pi}{32}\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr) =\frac{\pi}{32}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) =\frac{\pi}{32}(x-y)(x+y).
E, como mostrado antes, para o sólido com a mesma área A=\dfrac{\pi}{4}(x-y) resulta
J_{\text{sol}}=\frac{A^{2}}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi}{4}(x-y)\right)^{2} =\frac{\pi}{32}(x-y)^{2}.
Logo a razão é
\frac{J_{\text{oco}}}{J_{\text{sol}}} =\frac{\dfrac{\pi}{32}(x-y)(x+y)}{\dfrac{\pi}{32}(x-y)^{2}} =\frac{x+y}{x-y}.
Voltando a d_o e d_i, obtemos a fórmula muito conveniente
\theta_{\text{sol}}=\theta\;\frac{d_{o}^{2}+d_{i}^{2}}{d_{o}^{2}-d_{i}^{2}}.
Observações sobre essa fórmula:
  • é independente de L, G e até mesmo da área A; depende apenas das dimensões relativas da seção oca do eixo original;
  • se o eixo original fosse maciço ( d_i=0), a fórmula dá \theta_{\text{sol}}=\theta\frac{d_o^{2}+0}{d_o^{2}-0}=\theta, isto é, óbvio: comparar o sólido com ele próprio dá mesmo ângulo;
  • para um eixo bastante fino ( d_i próximo de d_o ), o denominador d_{o}^{2}-d_{i}^{2} fica pequeno e \theta_{\text{sol}} pode ser muito maior que \theta — faz sentido físico: o mesmo torque aplicado a um sólido (que então teria diâmetro grande para manter mesma área) pode causar giro maior se o eixo oco tiver J proporcionalmente maior.

Passo 6

Resumo prático do que fazer assim que a figura (ou os valores numéricos) for fornecida:
  • calcule \theta em radianos: \theta=\dfrac{\pi}{45}\\ \text{rad};
  • calcule J_{\text{oco}}=\dfrac{\pi}{32}\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr);
  • calcule T=\dfrac{G\,J_{\text{oco}}\,\theta}{L} → isso responde (a);
  • calcule \theta_{\text{sol}}=\theta\cdot\dfrac{d_{o}^{2}+d_{i}^{2}}{d_{o}^{2}-d_{i}^{2}} → isso responde (b) sem precisar de L nem de G.
Se você mandar os valores de L, d_o e d_i (ou a própria figura com as dimensões), eu faço as contas numéricas passo a passo e te entrego T e \theta_{\text{sol}} prontos para a prova.
Força aí — já tens as fórmulas e o fluxo de cálculo; faltam só os números da figura que não veio.

Resposta

(a) T=\dfrac{G}{L}\left(\dfrac{\pi}{32}\bigl(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\bigr)\right)\theta, com \theta=\dfrac{\pi}{45}\\ \text{rad}.
(b) \theta_{\text{sol}}=\theta\;\dfrac{d_{o}^{2}+d_{i}^{2}}{d_{o}^{2}-d_{i}^{2}}.

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