(1 ponto) Determine a aceleração do bloco D se a extremidade A da corda é puxada para baixo com uma velocidade escalar v_{A}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e uma aceleração de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.39 p. 71)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A extremidade A da corda é puxada para baixo com velocidade escalar \,v_A=3\\ \mathrm{m/s/s}\, e aceleração \,a_A=2\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pede para determinar a aceleração do bloco D.
Importante: o enunciado refere-se a um sistema de corda/polias que não foi enviado aqui (não há figura nem descrição de como a corda passa pelas polias nem quantos trechos da corda estão ligados ao bloco D). Sem essa informação geométrica do sistema não é possível relacionar univocamente o movimento de A com o movimento de D.

Passo 2

Por que a figura é necessária (explicação didática, sem pular etapas)?
  • Numa corda inextensível a soma do comprimento de todos os trechos varia zero. Isso gera uma equação de restrição do tipo
L = \sum (\text{comprimentos dos trechos}) = \text{constante}.
  • Diferenciando em relação ao tempo obtém-se uma relação entre velocidades dos pontos móveis da corda (ex.: v_A,\\ v_D, etc.):
0=\dot L=\sum (\pm v_i),
onde os sinais ( + ou -) dependem da orientação (se um trecho encurta quando uma massa sobe ou desce).
  • Diferenciando novamente obtém-se a relação entre acelerações:
0=\ddot L=\sum (\pm a_i).
  • Portanto, para escrever essas somas e determinar a_D é crucia saber exatamente quantos trechos da corda contribuem envolvendo D e como A está ligado (por cima de polias fixas, por polias móveis presas a D, quantas polias móveis etc.). Cada configuração dá uma relação diferente entre a_A e a_D.

Passo 3

Como se monta e resolve um problema típico desses (método passo a passo que você pode aplicar na prova):
  1. Desenhe o trajeto completo da corda identificando trechos que mudam de comprimento quando A ou D se movem.
  2. Escolha um ponto de referência e escreva o comprimento total L como soma dos comprimentos dos trechos que dependem de A e D. Use sinais consistentes.
  3. Diferencie uma vez para obter relação entre velocidades; isole a relação entre v_A e v_D.
  4. Diferencie novamente para obter relação entre acelerações; substitua os valores conhecidos para achar a_D.
  5. Defina sinais: por exemplo, escolha movimento para baixo como positivo para A; então se D sobe quando A desce, a_D terá sinal oposto ao de a_A.

Passo 4

Exemplos práticos (casos comuns) — isto é para você aprender a aplicar rápido na prova. Em cada caso substitua \,a_A=2\\ \mathrm{m/s^2}\,.
Exemplo 1 — polia fixa simples (corda passa por uma polia fixa e a outra extremidade está presa ao bloco D):
  • A movimentação de A transfere diretamente para D com mesma magnitude e sentido oposto, logo
a_D = a_A = 2\\ \mathrm{m/s^2}
(em módulo). Se A é puxado para baixo e isso faz D subir, o sinal de a_D será positivo para cima e a_D=-2\\ \mathrm{m/s^2} na convenção “para baixo positivo”.
Exemplo 2 — uma polia móvel presa ao bloco D com a outra extremidade da corda fixa no teto e a extremidade livre em A (o caso clássico de uma única polia móvel):
  • O comprimento total tem dois trechos que mudam quando D se move; ao puxar o fim A uma distância x_A, a polia (e D) desloca-se \,x_D = x_A/2. Diferenciando,
v_A = 2 v_D,\qquad a_A = 2 a_D.
Portanto
a_D = \frac{a_A}{2} = \frac{2}{2}=1\\ \mathrm{m/s^2}.
No exemplo numérico, o bloco D aceleraria com magnitude 1\\ \mathrm{m/s^2} (sentido contrário ao de A, se for o caso).
Exemplo 3 — geral para n trechos verticais que suportam o bloco D (sistemas com mais polias móveis):
  • Se a extremidade livre A controla n trechos que variam com o deslocamento de D, normalmente vale
v_A = n\,v_D,\qquad a_D = \frac{a_A}{n}.
Assim o fator n depende do número de segmentos efetivos ligados ao bloco.

Passo 5

Aplicação prática para a sua prova: ao ver a figura identifique quantos trechos da corda variam quando D se desloca. Use o procedimento do Passo 3 e um dos padrões do Passo 4/5 para escrever rapidamente a relação entre a_A e a_D e calcular o valor numérico substituindo \,a_A=2\\ \mathrm{m/s^2}\,. Resumo/encorajamento: não se desespere — esses problemas são sempre sobre montar a equação do comprimento e diferenciar. O passo chave é identificar quantos trechos da corda estão ligados ao bloco D. Se você me enviar a figura ou descrever como a corda e as polias estão dispostas (quantas polias, quais são móveis, pontos fixos), eu aplico o método passo a passo e calculo \,a_D numericamente pra você.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a aceleração do bloco D porque a figura/descrição do trajeto da corda e das polias não foi fornecida; é necessário conhecer como a corda passa pelas polias (quantos trechos prendem D, polias móveis ou fixas) para estabelecer a relação entre a_A e a_D.

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