(1 ponto) Determine a aceleração do bloco
se a extremidade
da corda é puxada para baixo com uma velocidade escalar
, e uma aceleração de
. (Equivalente ao Problema Fundamental 12.39 p. 71)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A extremidade
da corda é puxada para baixo com velocidade escalar e aceleração . - Pede para determinar a aceleração do bloco
.
Importante: o enunciado refere-se a um sistema de corda/polias que não foi enviado aqui (não há figura nem descrição de como a corda passa pelas polias nem quantos trechos da corda estão ligados ao bloco
). Sem essa informação geométrica do sistema não é possível relacionar univocamente o movimento de
com o movimento de
.
Passo 2
Por que a figura é necessária (explicação didática, sem pular etapas)?
- Numa corda inextensível a soma do comprimento de todos os trechos varia zero. Isso gera uma equação de restrição do tipo
- Diferenciando em relação ao tempo obtém-se uma relação entre velocidades dos pontos móveis da corda (ex.:
etc.):
onde os sinais (
ou
) dependem da orientação (se um trecho encurta quando uma massa sobe ou desce).
- Diferenciando novamente obtém-se a relação entre acelerações:
- Portanto, para escrever essas somas e determinar
é crucia saber exatamente quantos trechos da corda contribuem envolvendo e como está ligado (por cima de polias fixas, por polias móveis presas a , quantas polias móveis etc.). Cada configuração dá uma relação diferente entre e .
Passo 3
Como se monta e resolve um problema típico desses (método passo a passo que você pode aplicar na prova):
- Desenhe o trajeto completo da corda identificando trechos que mudam de comprimento quando
ou se movem. - Escolha um ponto de referência e escreva o comprimento total
como soma dos comprimentos dos trechos que dependem de e . Use sinais consistentes. - Diferencie uma vez para obter relação entre velocidades; isole a relação entre
e . - Diferencie novamente para obter relação entre acelerações; substitua os valores conhecidos para achar
. - Defina sinais: por exemplo, escolha movimento para baixo como positivo para
; então se sobe quando desce, terá sinal oposto ao de .
Passo 4
Exemplos práticos (casos comuns) — isto é para você aprender a aplicar rápido na prova. Em cada caso substitua
.
Exemplo 1 — polia fixa simples (corda passa por uma polia fixa e a outra extremidade está presa ao bloco
):
- A movimentação de
transfere diretamente para com mesma magnitude e sentido oposto, logo
(em módulo). Se
é puxado para baixo e isso faz
subir, o sinal de
será positivo para cima e
na convenção “para baixo positivo”.
Exemplo 2 — uma polia móvel presa ao bloco
com a outra extremidade da corda fixa no teto e a extremidade livre em
(o caso clássico de uma única polia móvel):
- O comprimento total tem dois trechos que mudam quando
se move; ao puxar o fim uma distância , a polia (e ) desloca-se . Diferenciando,
Portanto
No exemplo numérico, o bloco
aceleraria com magnitude
(sentido contrário ao de
, se for o caso).
Exemplo 3 — geral para
trechos verticais que suportam o bloco
(sistemas com mais polias móveis):
- Se a extremidade livre
controla trechos que variam com o deslocamento de , normalmente vale
Assim o fator
depende do número de segmentos efetivos ligados ao bloco.
Passo 5
Aplicação prática para a sua prova: ao ver a figura identifique quantos trechos da corda variam quando
se desloca. Use o procedimento do Passo 3 e um dos padrões do Passo 4/5 para escrever rapidamente a relação entre
e
e calcular o valor numérico substituindo
. Resumo/encorajamento: não se desespere — esses problemas são sempre sobre montar a equação do comprimento e diferenciar. O passo chave é identificar quantos trechos da corda estão ligados ao bloco
. Se você me enviar a figura ou descrever como a corda e as polias estão dispostas (quantas polias, quais são móveis, pontos fixos), eu aplico o método passo a passo e calculo
numericamente pra você.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a aceleração do bloco
porque a figura/descrição do trajeto da corda e das polias não foi fornecida; é necessário conhecer como a corda passa pelas polias (quantos trechos prendem
, polias móveis ou fixas) para estabelecer a relação entre
e
.