Um membro tubular deve transmitir uma força axial de compressão P=218 k N. A espessura da parede do tubo deve ser de 10,16 \mathrm{~mm}. Qual é o diâmetro externo mínimo necessário d_{\text {min }} se a tensão de compressão admissível é de \sigma_{a d m}=65 \mathrm{MPa}.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Força axial de compressão: P=218\\ \text{kN}.
    • Espessura da parede do tubo: t=10,16\\ \mathrm{mm}.
    • Tensão admissível de compressão: \sigma_{adm}=65\\ \mathrm{MPa}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o diâmetro externo mínimo d_{\text{min}} do tubo, de modo que a tensão de compressão no tubo não ultrapasse \sigma_{adm}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica que vamos usar — explicando devagar como num prova.
Quando uma barra (ou tubo) é solicitada por uma força axial P de compressão, a tensão média de compressão \sigma é dada por
\sigma=\frac{P}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão média (unidades: \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}),
  • P é a força axial (unidades: \mathrm{N}),
  • A é a área da seção transversal resistente (unidades: \mathrm{mm^2} se usarmos mm).
No caso de um tubo circular (caso o nosso problema), a área da seção transversal é a área do círculo externo menos a área do círculo interno:
A=\frac{\pi}{4}\left(d_e^2-d_i^2\right),
onde d_e é o diâmetro externo e d_i é o diâmetro interno.
Aqui foi dada a espessura t. A relação entre diâmetros é
d_i=d_e-2t.

Passo 3

Manipular a expressão da área para ficar mais simples e facilitarmos a resolução.
Substituindo d_i=d_e-2t na fórmula da área:
A=\frac{\pi}{4}\bigl(d_e^2-(d_e-2t)^2\bigr).
Desenvolvendo o quadrado:
(d_e-2t)^2=d_e^2-4t d_e+4t^2.
Logo
A=\frac{\pi}{4}\bigl(d_e^2-(d_e^2-4t d_e+4t^2)\bigr)=\frac{\pi}{4}\bigl(4t d_e-4t^2\bigr).
Fatorando 4:
A=\frac{\pi}{4}\cdot 4\bigl(t d_e-t^2\bigr)=\pi\bigl(t d_e-t^2\bigr).
Podemos escrever de forma mais conveniente:
A=\pi t\bigl(d_e-t\bigr).
Essa forma é muito útil porque reduz o problema a uma expressão linear em d_e.
Observação didática: essa simplificação é muito prática em provas — ela mostra que a área de uma parede tubular depende de t e de d_e-t, e evita trabalhar com termos quadráticos.

Passo 4

Impor a condição de segurança (tensão admissível) e isolar d_e.
Queremos que a tensão real não ultrapasse a admissível:
\sigma=\frac{P}{A}\le \sigma_{adm}.
Para encontrar o diâmetro mínimo, impomos igualdade (caso crítico):
\frac{P}{A}=\sigma_{adm}.
Substituindo A=\pi t(d_e-t):
\frac{P}{\pi t(d_e-t)}=\sigma_{adm}.
Isolando d_e-t:
d_e-t=\frac{P}{\pi t\,\sigma_{adm}}.
Portanto o diâmetro externo mínimo é
d_{\text{min}}=t+\frac{P}{\pi t\,\sigma_{adm}}.

Passo 5

Escolha de unidades e conversões (muito importante para não errar). Vou calcular em \mathrm{mm} porque t foi dado em \mathrm{mm} e \sigma_{adm} em \mathrm{MPa} (que é \mathrm{N/mm^2}) — assim evitamos números gigantes.
Converter os dados para unidades compatíveis:
  • P=218\\ \text{kN}=218000\\ \mathrm{N}.
  • t=10,16\\ \mathrm{mm}.
  • \sigma_{adm}=65\\ \mathrm{MPa}=65\\ \mathrm{N/mm^2}.
Agora substituímos na fórmula
d_{\text{min}}=t+\frac{P}{\pi t\,\sigma_{adm}}.
Calcular o denominador passo a passo:
t\,\sigma_{adm}=10,16\times 65=660,4\quad(\mathrm{N/mm}).
Multiplicando por \pi:
\pi\,t\,\sigma_{adm}= \pi\times 660,4\approx 2074,76\quad(\mathrm{N/mm}).
Agora a fração:
\frac{P}{\pi t\,\sigma_{adm}}=\frac{218000}{2074,76}\approx 105,138\quad(\mathrm{mm}).
Finalmente:
d_{\text{min}}=t+105,138=10,16+105,138\approx 115,298\quad(\mathrm{mm}).

Passo 6

Arredondamento e interpretação final.
  • O diâmetro externo mínimo que satisfaz \sigma\le\sigma_{adm} é aproximadamente 115,30\\ \mathrm{mm}.
  • Interpretação prática: qualquer tubo com espessura 10,16\\ \mathrm{mm} e diâmetro externo igual ou maior que esse valor suportará a força P sem exceder a tensão admissível.
Força no peito: fizemos a conta de forma direta e evitei manipulações quadráticas complicadas — nas provas essa simplificação costuma salvar tempo!

Resposta

d_{\text{min}}\approx 115,30\\ \mathrm{mm}

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