4.154. Substitua as cargas por uma força resultante e momento equivalentes atuantes no ponto O.

Passo 1

O enunciado pede: substituir a distribuição de cargas por uma força resultante e um momento equivalentes atuantes no ponto O.
Informações relevantes extraídas da imagem:
  • Intensidade na extremidade superior: w_{\text{top}} = 7{,}5\\ \text{kN/m}.
  • Intensidade na extremidade inferior: w_{\text{bot}} = 20\\ \text{kN/m}.
  • Divisão da altura: cima 3\\ \text{m}, meio 3\\ \text{m}, baixo 4{,}5\\ \text{m}.
  • Altura total (soma): L = 3 + 3 + 4{,}5 = 10{,}5\\ \text{m}.
(O enunciado pede apenas a substituição por força resultante e momento em O. As quantidades acima foram obtidas da imagem fornecida.)

Passo 2

Entendendo o problema e a estratégia (aulas rápidas no caminho):
  • A carga é distribuída ao longo da parede variando linearmente de w_{\text{top}} até w_{\text{bot}}. Para encontrar a força resultante W basta integrar a intensidade ao longo do comprimento, ou, de forma mais simples, usar a área do trapézio formado por w(x) versus x:
W=\int_{0}^{L} w(x)\,dx = L\cdot\frac{w_{\text{top}}+w_{\text{bot}}}{2}.
Explicação didática: pensar em cada pequena fatia de espessura dx com força w(x)\,dx. Somando (integrando) dá a área sob a curva w(x) — que para um varrimento linear é um trapézio cuja área é base L vezes média das bases (w_{\text{top}}+w_{\text{bot}})/2.
  • Para trazer toda essa força para o ponto O é preciso também conhecer o momento que essa distribuição gera em O. Podemos obter o momento calculando a posição do centro de pressão (centro do trapézio), isto é, o braço y da resultante em relação a O. Uma forma robusta é calcular a coordenada do centroide medida a partir do topo:
\bar{x}=\frac{1}{W}\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx.
Explicação didática: \int x\,w(x)\,dx é o primeiro momento da distribuição; dividindo pelo total W dá a coordenada de aplicação da força resultante.
  • Com W e a distância vertical entre O e a linha de ação da resultante y (medida a partir de O) o momento equivalente em O é:
M_O = W\cdot y.
Sinal e sentido: a força atua horizontalmente para a direita (setas na figura). Como a força está acima de O, o momento produzido tende a girar no sentido horário em torno de O (ou seja, momento com sentido horário).

Passo 3

Calcular a força resultante W (área do trapézio):
L = 10{,}5\\ \text{m},\qquad w_{\text{top}}=7{,}5\\ \text{kN/m},\qquad w_{\text{bot}}=20\\ \text{kN/m}.
W = L\cdot\frac{w_{\text{top}}+w_{\text{bot}}}{2} = 10{,}5\cdot\frac{7{,}5+20}{2}.
Calculemos:
\frac{7{,}5+20}{2}=\frac{27{,}5}{2}=13{,}75\\ \text{kN/m}.
W = 10{,}5\cdot 13{,}75 = 144{,}375\\ \text{kN}.
Arredondando de forma prática para a prova: W \approx 144{,}38\\ \text{kN}.

Passo 4

Calcular a posição da resultante medida a partir do topo ( \bar{x}) usando w(x)=w_{\text{top}} + kx com k=(w_{\text{bot}}-w_{\text{top}})/L.
Calcule k:
k=\frac{w_{\text{bot}}-w_{\text{top}}}{L}=\frac{20-7{,}5}{10{,}5}=\frac{12{,}5}{10{,}5}\approx 1{,}19047619\\ \text{kN/m}^2.
Primeiro momento:
\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx = \int_{0}^{L} x\bigl(w_{\text{top}} + kx\bigr)\,dx = w_{\text{top}}\frac{L^{2}}{2} + k\frac{L^{3}}{3}.
Substituindo valores:
w_{\text{top}}\frac{L^{2}}{2} = 7{,}5\cdot\frac{10{,}5^{2}}{2} = 7{,}5\cdot\frac{110{,}25}{2} = 413{,}4375\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
k\frac{L^{3}}{3} \approx 1{,}19047619\cdot\frac{10{,}5^{3}}{3} =1{,}19047619\cdot\frac{1157{,}625}{3}\approx 459{,}5982\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Somando:
\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx \approx 413{,}4375 + 459{,}5982 = 873{,}0357\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Agora a coordenada do centroide a partir do topo:
\bar{x}=\frac{873{,}0357}{144{,}375}\approx 6{,}0481\\ \text{m}\\ \text{(a partir do topo)}.
Distância da linha de ação até O (medida vertical acima de O):
y = L - \bar{x} = 10{,}5 - 6{,}0481 = 4{,}4519\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática: y \approx 4{,}452\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular o momento equivalente em O:
M_O = W\cdot y \approx 144{,}375\cdot 4{,}4519 \approx 642{,}884\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Arredondando para a prova: M_O \approx 642{,}88\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Sentido do momento: como a força horizontal atua para a direita acima de O, o momento em O é no sentido horário (escolher sinal conforme convenção; aqui foi dado o módulo e o sentido horário).

Passo 6

Interpretação final (como apresentar na prova):
  • Substituir a distribuição por uma força horizontal única aplicada em O de módulo W e por um momento concentrado em O de módulo M_O. Em termos práticos, sobre um diagrama de corpo livre em O basta colocar:
    • W (horizontal, para a direita) atuando em O;
    • e um momento M_O no sentido horário em O.

Resposta

W = 144{,}38\\ \text{kN} (resultante horizontal, para a direita)\n
M_{O} = 642{,}88\\ \text{kN}\cdot\text{m} (momento em O, sentido horário)

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