\begin{array}{l} d=256 \mathrm{~mm} \\\ b f=255 \mathrm{~mm} \\\ t f=15,6 \mathrm{~mm} \\\ t w=9,4 \mathrm{~mm} \end{array}
Cargas axiais de intensidade \mathrm{P}=600,5 \mathrm{kN} são aplicadas paralelas ao eixo geométrico da coluna AB feita com um perfil de aço laminado W250x80 e interceptam o eixo x a uma distância “e” do eixo geométrico. Sabendo que \sigma_{\mathrm{adm}}=82,74 \mathrm{MPa} e \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, determine o maior comprimento L admissível quando (a) \mathrm{e}=6,35 \mathrm{~mm}, (b) \mathrm{e}=12,7 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior comprimento L admissível da coluna para dois casos de excentricidade e: (a) e=6,35\\ \text{mm} e (b) e=12,7\\ \text{mm}, sabendo que a carga axial é P=600,5\\ \text{kN}, a tensão admissível é \sigma_{\mathrm{adm}}=82,74\\ \text{MPa} e E=200\\ \text{GPa}.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado / da figura):
  • d = 256\\ \text{mm} (altura total do perfil)
  • b_f = 255\\ \text{mm} (largura da aba)
  • t_f = 15{,}6\\ \text{mm} (espessura da aba)
  • t_w = 9{,}4\\ \text{mm} (espessura da alma)
  • P = 600{,}5\\ \text{kN} = 600\,500\\ \text{N}
  • \sigma_{\mathrm{adm}} = 82{,}74\\ \text{MPa}
  • E = 200\\ \text{GPa} = 200\,000\\ \text{N/mm}^2
O que precisamos encontrar: o maior L tal que a tensão de compressão máxima no extremo da seção não ultrapasse \sigma_{\mathrm{adm}}, considerando a excentricidade e dada (efeito de flexão + efeito de segunda ordem por flambagem).

Passo 2

Cálculo da área da seção transversal A. Modelo aproximado por retângulos (2 abas + alma):
  • altura útil da alma h = d - 2 t_f.
  • área das abas A_f = b_f t_f (cada uma).
  • área da alma A_w = t_w h.
Fórmula:
A = 2 b_f t_f + t_w h,\qquad h = d - 2 t_f.
Substituindo números (tomei d,b_f,t_f,t_w do enunciado):
h = 256 - 2\cdot15{,}6 = 224{,}8\\ \text{mm},
A = 2\cdot255\cdot15{,}6 + 9{,}4\cdot224{,}8 = 7\,956{,}0 + 2\,113{,}12 = 10\,069{,}12\\ \text{mm}^2.
Arredondando para uso prático:
A \approx 10\,069{,}1\\ \text{mm}^2.
Cálculo da tensão axial média (sem flexão):
\sigma_{ax}=\frac{P}{A}=\frac{600\,500}{10\,069{,}12}\\ \text{N/mm}^2 \approx 59{,}64\\ \text{MPa}.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia I (eixo forte x horizontal). Aproximação por soma das contribuições da alma e das duas abas (teorema dos eixos paralelos).
Definições:
  • h já calculado.
  • distância do centro de cada flange ao eixo neutro (centro da seção): a = \dfrac{h + t_f}{2}.
  • I_{web} = \dfrac{t_w h^3}{12}.
  • I_{flange,\,centro} = \dfrac{b_f t_f^3}{12}.
  • contribuição total de uma flange: I_{flange} = I_{flange,\,centro} + A_f a^2.
Cálculos numéricos:
a = \frac{224{,}8 + 15{,}6}{2} = 120{,}2\\ \text{mm}.
I_{web} = \frac{9{,}4\cdot(224{,}8)^3}{12} \approx 8{,}898{,}884\\ \text{mm}^4.
I_{flange,\,centro} = \frac{255\cdot(15{,}6)^3}{12} \approx 80{,}674\\ \text{mm}^4.
A_f = 255\cdot15{,}6 = 3\,978\\ \text{mm}^2.
A_f a^2 = 3\,978\cdot(120{,}2)^2 \approx 57\,474\,303\\ \text{mm}^4.
I_{flange} \approx 80\,674 + 57\,474\,303 = 57\,554\,977\\ \text{mm}^4\quad(\text{por flange}).
Duas flanges:
2 I_{flange} \approx 115\,109\,954\\ \text{mm}^4.
Somando a alma:
I = I_{web} + 2 I_{flange} \approx 8\,898\,884 + 115\,109\,954 \approx 124\,008\,838\\ \text{mm}^4.
Arredondando:
I \approx 1{,}24009\cdot10^{8}\\ \text{mm}^4.
O valor de c (distância do neutro até fibra extrema) é
c = \frac{d}{2} = \frac{256}{2} = 128\\ \text{mm}.

Passo 4

Explicação física e fórmula da amplificação por flambagem (segunda ordem):
  • Uma coluna com uma pequena excentricidade inicial e sofre não só o momento M_0=P e (primeira ordem), mas, se a carga é próxima da carga crítica de Euler P_{cr}, a deflexão aumenta e o momento máximo é amplificado. Para condições de extremidade articuladas (pino-pino) a solução da EDO linearizada dá o fator de amplificação:
M_{\max}=\frac{P e}{1-\dfrac{P}{P_{cr}}}.
  • Aqui P_{cr} é a carga crítica de Euler:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L^2}.
  • A tensão máxima na fibra comprimida (lado que soma compressão axial + flexão) é:
\sigma_{\max}=\frac{P}{A}+\frac{M_{\max}\,c}{I}= \frac{P}{A}+\frac{P e\,c}{I\left(1-\dfrac{P}{P_{cr}}\right)}.
Explicação simples: o denominador 1-P/P_{cr} aumenta muito quando P se aproxima de P_{cr}, mostrando a sensibilidade à flambagem. Por isso devemos usar essa expressão para garantir \sigma_{\max}\le\sigma_{\mathrm{adm}}.

Passo 5

Isolando L. Partimos da desigualdade:
\frac{P}{A}+\frac{P e\,c}{I\left(1-\dfrac{P}{P_{cr}}\right)} \le \sigma_{\mathrm{adm}}.
Defina S=\sigma_{\mathrm{adm}}-\dfrac{P}{A} (margem para flexão). Reescrevendo:
\frac{P e\,c}{I\left(1-\dfrac{P}{P_{cr}}\right)} \le S \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{P}{P_{cr}} \ge \frac{P e\,c}{I S}.
Logo
\frac{P}{P_{cr}} \le 1 - \frac{P e\,c}{I S} \quad\Longrightarrow\quad P_{cr} \ge \frac{P}{\,1 - \dfrac{P e\,c}{I S}\,}.
Como P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L^2}, obtemos
\frac{\pi^2 E I}{L^2} \ge \frac{P}{\,1 - \dfrac{P e\,c}{I S}\,}
e isolando L:
L \le \pi \sqrt{\frac{E I\left(1-\dfrac{P e\,c}{I S}\right)}{P}}.
Essa expressão nos dá o maior L admissível (para condições pino-pino e usando o modelo linear com excentricidade inicial e). Agora vamos aplicar numericamente.

Passo 6

Valores já obtidos:
  • A = 10\,069{,}12\\ \text{mm}^2.
  • I = 124\,008\,838\\ \text{mm}^4.
  • c = 128\\ \text{mm}.
  • P = 600\,500\\ \text{N}.
  • \sigma_{\mathrm{adm}}=82{,}74\\ \text{MPa}.
Calcule S:
\frac{P}{A}\approx 59{,}64\\ \text{MPa}\quad\Rightarrow\quad S=\sigma_{\mathrm{adm}}-\frac{P}{A}\approx 82{,}74-59{,}64=23{,}10\\ \text{MPa}.
Calcule o termo \dfrac{P e c}{I}:
\frac{P e c}{I}=\frac{600\,500\cdot 6{,}35\cdot128}{124\,008\,838} \approx \frac{488\,086\,400}{124\,008\,838}\approx 3{,}936\\ \text{MPa}.
Agora a razão \dfrac{P e c}{I S}:
\frac{P e c}{I S}\approx\frac{3{,}936}{23{,}10}\approx 0{,}17036.
Portanto o fator dentro da raiz:
1-\frac{P e c}{I S}\approx 0{,}82964.
Agora calcule L:
L \le \pi\sqrt{\frac{E I\left(1-\dfrac{P e c}{I S}\right)}{P}} = \pi\sqrt{\frac{200\,000\cdot124\,008\,838\cdot0{,}82964}{600\,500}}.
Avaliação numérica (passo a passo):
\frac{E I}{P}\approx\frac{200\,000\cdot124\,008\,838}{600\,500}\approx 41\,301\,860\\ \text{mm}^2,
\frac{E I}{P}\left(1-\frac{P e c}{I S}\right)\approx 41\,301\,860\cdot0{,}82964\approx 34\,265\,550\\ \text{mm}^2,
\sqrt{\cdots}\approx \sqrt{34\,265\,550}\approx 5\,858{,}1\\ \text{mm},
L \approx \pi\cdot5\,858{,}1\\ \text{mm}\approx 18\,401\\ \text{mm}\approx 18{,}40\\ \text{m}.

Passo 7

O cálculo é o mesmo, só muda e. Como \dfrac{P e c}{I} é proporcional a e, dobrando e dobra esse termo.
Para e=12{,}7\\ \text{mm}:
\frac{P e c}{I}\approx 2\cdot 3{,}936 \approx 7{,}872\\ \text{MPa},
\frac{P e c}{I S}\approx\frac{7{,}872}{23{,}10}\approx 0{,}34073,
1-\frac{P e c}{I S}\approx 0{,}65927.
\frac{E I}{P}\left(1-\frac{P e c}{I S}\right)\approx 41\,301\,860\cdot0{,}65927\approx 27\,229\,245\\ \text{mm}^2,
\sqrt{\cdots}\approx \sqrt{27\,229\,245}\approx 5\,218{,}6\\ \text{mm},
L \approx \pi\cdot5\,218{,}6\\ \text{mm}\approx 16\,389\\ \text{mm}\approx 16{,}39\\ \text{m}.

Resposta

L_{\text{máx}}á (a) \approx 18{,}40\\ \text{m}
L_{\text{máx}}á (b) \approx 16{,}39\\ \text{m}

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