*4.160. Determine a força resultante equivalente do carregamento distribuído e sua localização, medida a partir do ponto A. Avalie as integrais usando a regra de Simpson.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a força resultante equivalente do carregamento distribuído ao longo da barra (ou seja, calcular F=\int_0^4 w(x)\,dx).
  • Determinar a localização da resultante medida a partir do ponto A (ou seja, calcular \bar{x}=\dfrac{1}{F}\int_0^4 x\,w(x)\,dx).
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • A variável x mede desde A até a extremidade direita; o domínio do carregamento é 0\le x\le 4\\ \text{m} (3 m até B mais 1 m até a extremidade).
  • A expressão do carregamento é
w(x)=\sqrt{\,5x+\sqrt{16+x^{2}}\,}\quad\text{kN/m}.
  • O valor em x=0 é w(0)=2{,}0\\ \text{kN/m} (conferido na figura).
  • O valor em x=4 indicado na figura é aproximadamente 5{,}07\\ \text{kN/m}.

Passo 2

Apresentação da regra de Simpson (vamos usar ela para aproximar as integrais).
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesma largura h=(b-a)/n, com n par.
  • A fórmula de Simpson (com n par) é:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots+2f_{n-2}+4f_{n-1}+f_n\Big),
onde f_i=f(x_i) e x_i=a+i h.
  • Aqui escolho n=4 (par) para simplicidade e porque dá nós em x=0,1,2,3,4 que são práticos na prova. Assim h=(4-0)/4=1\\ \text{m}.
  • Vamos aplicar Simpson para as duas integrais: \int_0^4 w(x)\,dx e \int_0^4 x\,w(x)\,dx. No segundo caso usamos f(x)=x\,w(x).

Passo 3

Calcular os valores de w(x) nos nós x=0,1,2,3,4. Vou mostrar o cálculo de cada um.
Para x=0:
w(0)=\sqrt{5\cdot 0+\sqrt{16+0^{2}}}=\sqrt{0+\sqrt{16}}=\sqrt{4}=2{,}000000.
Para x=1:
w(1)=\sqrt{5\cdot1+\sqrt{16+1^{2}}}=\sqrt{5+\sqrt{17}}=\sqrt{5+4{,}123105626}=\sqrt{9{,}123105626}=3{,}020472.
Para x=2:
w(2)=\sqrt{5\cdot2+\sqrt{16+2^{2}}}=\sqrt{10+\sqrt{20}}=\sqrt{10+4{,}472135955}=\sqrt{14{,}472135955}=3{,}804486.
Para x=3:
w(3)=\sqrt{5\cdot3+\sqrt{16+3^{2}}}=\sqrt{15+\sqrt{25}}=\sqrt{15+5}=\sqrt{20}=4{,}472136.
Para x=4:
w(4)=\sqrt{5\cdot4+\sqrt{16+4^{2}}}=\sqrt{20+\sqrt{32}}=\sqrt{20+5{,}656854249}=\sqrt{25{,}656854249}=5{,}065834.
Resumo dos valores (arredondados para 6 casas mostradas):
\begin{array}{l} w_0=w(0)=2{,}000000,\\[2pt] w_1=w(1)=3{,}020472,\\[2pt] w_2=w(2)=3{,}804486,\\[2pt] w_3=w(3)=4{,}472136,\\[2pt] w_4=w(4)=5{,}065834. \end{array}]

Passo 4

Cálculo da força resultante F=\int_0^4 w(x)\,dx por Simpson com h=1 e n=4:
F\approx \frac{h}{3}\big(w_0+4w_1+2w_2+4w_3+w_4\big).
Substituindo os valores:
F\approx \frac{1}{3}\big(2{,}000000 +4(3{,}020472)+2(3{,}804486)+4(4{,}472136)+5{,}065834\big).
Calculemos os termos:
4w_1=12{,}081888,\quad 2w_2=7{,}608972,\quad 4w_3=17{,}888544.
Soma interior:
2{,}000000+12{,}081888+7{,}608972+17{,}888544+5{,}065834=44{,}645238.
Portanto
F\approx \frac{1}{3}\cdot 44{,}645238=14{,}881746\\ \text{kN}.

Passo 5

Cálculo do momento em relação a A: M_A=\int_0^4 x\,w(x)\,dx. Primeiro calcule g_i=x_i w_i nos nós.
Valores g_i=x_i w(x_i):
\begin{array}{l} g_0=0\cdot w_0=0{,}000000,\\[2pt] g_1=1\cdot w_1=3{,}020472,\\[2pt] g_2=2\cdot w_2=2\cdot 3{,}804486=7{,}608972,\\[2pt] g_3=3\cdot w_3=3\cdot 4{,}472136=13{,}416408,\\[2pt] g_4=4\cdot w_4=4\cdot 5{,}065834=20{,}263336. \end{array}
Aplicando Simpson (mesmo h=1, n=4):
M_A\approx \frac{h}{3}\big(g_0+4g_1+2g_2+4g_3+g_4\big).
Substituindo:
M_A\approx \frac{1}{3}\big(0{,}000000 +4(3{,}020472)+2(7{,}608972)+4(13{,}416408)+20{,}263336\big).
Calcule os termos:
4g_1=12{,}081888,\quad 2g_2=15{,}217944,\quad 4g_3=53{,}665632.
Soma interior:
0{,}000000+12{,}081888+15{,}217944+53{,}665632+20{,}263336=101{,}228800.
Portanto
M_A\approx \frac{1}{3}\cdot 101{,}228800=33{,}742933\\ \text{kN}\cdot\text{m}.]

Passo 6

Cálculo da posição da resultante (centroide) medida a partir de A:
\bar{x}=\frac{M_A}{F}=\frac{33{,}742933}{14{,}881746}=2{,}2669\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
\bar{x}\approx 2{,}267\\ \text{m}.

Passo 7

Resumo numérico final (arredondado a 3 casas decimais para apresentação):
  • Força resultante: F\approx 14{,}882\\ \text{kN}.
  • Localização a partir de A: \bar{x}\approx 2{,}267\\ \text{m}.

Resposta

F=14{,}882\\ \text{kN}
\bar{x}=2{,}267\\ \text{m}

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