\begin{array}{l} d=216 \mathrm{~mm} \\\ b f=206 \mathrm{~mm} \\\ t f=17,4 \mathrm{~mm} \\\ t w=10,2 \mathrm{~mm} \end{array}
A coluna W200 x 71 de aço estrutural A-36 está engastada na base e presa por pinos no topo. Se for submetida à carga excêntrica de 375 kN , determine se ela falha por escoamento. A coluna está escorada de modo a não sofrer flambagem em torno do eixo \mathrm{y}-\mathrm{y} \cdot \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a coluna W200×71 de aço A-36, engastada na base e presa por pino no topo, submetida a uma carga excêntrica de 375\\ \mathrm{kN} com excentricidade 200\\ \mathrm{mm}, falha por escoamento. Dados fornecidos (peguei dimensões do perfil no enunciado/imagem):
  • altura total do perfil: d=216\\ \mathrm{mm}
  • largura da aba: b_f=206\\ \mathrm{mm}
  • espessura da aba: t_f=17{,}4\\ \mathrm{mm}
  • espessura da alma: t_w=10{,}2\\ \mathrm{mm}
  • comprimento da coluna: L=3{,}6\\ \mathrm{m} (da imagem)
  • carga axial: P=375\\ \mathrm{kN}
  • excentricidade da carga: e=200\\ \mathrm{mm} (da imagem)
  • módulo de elasticidade: E=200\\ \mathrm{GPa}
  • condições de apoio: base engastada (fixa) e topo articulado (pino)
    Obs.: o enunciado não deu explicitamente F_y; para aço A-36 adoto F_y=250\\ \mathrm{MPa} (valor usual para A-36). Também foi informado que a coluna está escorada de modo a não flambar em torno do eixo y\!-\!y (ou seja, a flambagem pelo eixo fraco está prevenida), mas eu calcularei os valores críticos de flambagem para referência.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal A. Para um perfil I (duas abas + alma):
A = 2\,b_f t_f + (d - 2 t_f)\,t_w.
Substituindo:
A = 2\cdot206\cdot17{,}4 + (216 - 2\cdot17{,}4)\cdot10{,}2 = 9017{,}04\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Vamos calcular os momentos de inércia em torno dos eixos principais x\!-\!x (eixo forte, horizontal) e y\!-\!y (eixo fraco, vertical). Método: soma das contribuições dos dois elementos de flange (cada flange considerada retângulo) e da alma (retângulo).
Definir:
  • altura útil da alma \,h_w = d - 2 t_f = 181{,}2\\ \mathrm{mm}.
  • área de cada flange \,A_f = b_f t_f = 206\cdot17{,}4 = 3584{,}4\\ \mathrm{mm}^2.
  • distância do centróide da flange ao centro da seção \,y_f = \dfrac{d}{2} - \dfrac{t_f}{2} = 99{,}3\\ \mathrm{mm}.
I_x (soma de flanges + alma):
  • inércia da flange em torno do seu próprio centro (reta horizontal): \,I_{f,cent} = \dfrac{b_f t_f^3}{12}.
  • paralel axis: \,A_f y_f^2.
  • inércia da alma: \,I_w = \dfrac{t_w h_w^3}{12}.
Cálculos numéricos (detalhados):
I_{f,cent} = \dfrac{206\cdot(17{,}4)^3}{12}=90\,434{,}412\\ \mathrm{mm}^4,
A_f y_f^2 = 3584{,}4\cdot(99{,}3)^2 = 35\,343\,941{,}356\\ \mathrm{mm}^4,
\text{contribuição por flange}=35\,434\,375{,}768\\ \mathrm{mm}^4,çã
\text{duas flanges}=2\cdot35\,434\,375{,}768=70\,868\,751{,}536\\ \mathrm{mm}^4,
I_w=\dfrac{10{,}2\cdot(181{,}2)^3}{12}=5\,057\,006{,}429\\ \mathrm{mm}^4.
Portanto
I_x = 70\,868\,751{,}536 + 5\,057\,006{,}429 = 75\,925\,757{,}965\\ \mathrm{mm}^4 \approx 7{,}5926\cdot10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.
I_y (contribuições principais):
  • flanges (cada uma): \,I_{f,y}=\dfrac{t_f b_f^3}{12} (sem termo de eixo paralelo porque estão centradas em relação a y\!-\!y).
  • alma: \,I_{w,y}=\dfrac{h_w t_w^3}{12}.
Cálculos:
2\cdot \dfrac{17{,}4\cdot(206)^3}{12}=25\,351\,266{,}400\\ \mathrm{mm}^4 \quad(\text{duas flanges}),
I_{w,y}=\dfrac{181{,}2\cdot(10{,}2)^3}{12}=16\,024{,}241\\ \mathrm{mm}^4.
Logo
I_y \approx 25\,367\,290{,}641\\ \mathrm{mm}^4 \approx 2{,}5367\cdot10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 4

Calcular o módulo de seção (section modulus) em relação ao eixo x\!-\!x, que usaremos para tensões por flexão:
S_x = \dfrac{I_x}{c},
onde c é a distância do centroide ao fibra extrema na direção vertical, c=\dfrac{d}{2}=108\\ \mathrm{mm}.
S_x = \dfrac{75\,925\,757{,}965}{108} = 703\,016{,}277\\ \mathrm{mm}^3 \approx 7{,}0302\cdot10^{5}\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 5

Verificação de flambagem elástica (Euler) para referência. Primeiro determinar o comprimento efetivo L_e. Para extremidades engastada–pino tem-se K\approx0{,}7. Assim
L_e = K L = 0{,}7\cdot3{,}6\\ \mathrm{m} = 2{,}52\\ \mathrm{m} = 2520\\ \mathrm{mm}.
Cálculo da carga crítica de Euler:
P_{cr} = \dfrac{\pi^2 E I}{L_e^2}.
Para o eixo forte x\!-\!x:
P_{cr,x}=\dfrac{\pi^2\cdot200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2\cdot75\,925\,757{,}965\\ \mathrm{mm}^4}{(2520\\ \mathrm{mm})^2}\approx 2{,}36\cdot10^{7}\\ \mathrm{N}=23\,600\\ \mathrm{kN}.
Para o eixo fraco y\!-\!y:
P_{cr,y}\approx \dfrac{\pi^2\cdot200\,000\cdot25\,367\,290{,}641}{2520^2}\approx 7{,}89\cdot10^{6}\\ \mathrm{N}=7\,890\\ \mathrm{kN}.
Comparação com a carga aplicada P=375\\ \mathrm{kN}: tanto P_{cr,x} quanto P_{cr,y} são muito maiores que P (ordens de magnitude maiores). Portanto a flambagem elástica não é governante aqui e efeitos de segunda ordem (amplificação do momento por proximidade de P_{cr}) são desprezíveis.

Passo 6

Calcular a tensão média axial:
\sigma_a = \dfrac{P}{A} = \dfrac{375\,000\\ \mathrm{N}}{9017{,}04\\ \mathrm{mm}^2}=41{,}59\\ \mathrm{N/mm}^2.

Passo 7

Calcular o momento de flexão provocado pela excentricidade (assumindo momento inicial M=P e, e como P\ll P_{cr} não usamos amplificação):
M = P e = 375\,000\\ \mathrm{N}\cdot200\\ \mathrm{mm} = 75\,000\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Tensão de flexão na fibra extrema:
\sigma_b = \dfrac{M}{S_x} = \dfrac{75\,000\,000}{703\,016{,}277}=106{,}63\\ \mathrm{N/mm}^2.

Passo 8

Determinar a tensão compressiva máxima combinada (axial + flexão) na fibra comprimida:
\sigma_{comp,max} = \sigma_a + \sigma_b = 41{,}59 + 106{,}63 = 148{,}22\\ \mathrm{N/mm}^2.
Comparar com o limite de escoamento assumido F_y=250\\ \mathrm{N/mm}^2:
\sigma_{comp,max}=148{,}22\\ \mathrm{MPa} < F_y=250\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Conclusão: a tensão compressiva máxima na seção sob a combinação de esforço normal e momento devido à excentricidade é muito menor que o limite de escoamento do aço A-36. Além disso a carga aplicada é bem inferior às cargas críticas de flambagem calculadas, portanto não há falha por escoamento nem por flambagem elástica nas condições dadas.

Resposta

Não, a coluna não falha por escoamento. Tensão compressiva máxima \sigma_{comp,max}=148{,}2\\ \mathrm{MPa}<F_y=250\\ \mathrm{MPa}.

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