3.16 Depois de 200 g de ouro \left[c_{p}=0,0313 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right] a 120,0 { }^{\circ} \mathrm{C} serem derramados em 25,0 \mathrm{~g} de água a 10^{\circ} \mathrm{C}, deixa-se o sistema atingir o equilfbrio em um recipiente adiabático. Determine (a) a temperatura final; (b) \Delta S_{A B}; (c) \Delta S_{\mathrm{H}, \mathrm{O}}; (d) \Delta S_{A \mathrm{a}}+\Delta S_{\mathrm{H}, \mathrm{O}}.

Passo 1

O enunciado diz que temos m_{\text{Au}}=200,g de ouro com calor específico c_{p,\text{Au}}=0,0313, \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}) inicialmente a 120,0\,^\circ\mathrm{C}, e m_{\mathrm{H_2O}}=25,0,g de água com c_{p,\mathrm{H_2O}}=1,00, \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}) inicialmente a 10,0\,^\circ\mathrm{C}. Tudo é colocado num recipiente adiabático até equilíbrio térmico. Vamos determinar:
(a) a temperatura de equilíbrio T_f;
(b) a variação de entropia do ouro \Delta S_{\text{Au}};
(c) a variação de entropia da água \Delta S_{\mathrm{H_2O}};
(d) a variação total \Delta S_{\text{tot}}=\Delta S_{\text{Au}}+\Delta S_{\mathrm{H_2O}}.
Conteúdo necessário: calorimetria (primeira lei) para achar T_f e definição de entropia \Delta S=\int dQ_\text{rev}/T para processos a pressão e c_p constantes, usando temperaturas em kelvin.

Passo 2

No equilíbrio térmico, como o sistema é adiabático, o calor perdido pelo ouro é igual ao calor ganho pela água:
Q_{\text{Au}}+Q_{\mathrm{H_2O}}=0.
Como Q=m\,c_p\,(T_f-T_i), temos
m_{\text{Au}}\,c_{p,\text{Au}}\,(T_f-120{,}0) \;+\; m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{p,\mathrm{H_2O}}\,(T_f-10{,}0) =0.
Substituindo os números:
200\cdot0,0313\,(T_f-120) \;+\; 25\cdot1\,(T_f-10) =0 \;\Longrightarrow\; 6{,}26\,(T_f-120)+25\,(T_f-10)=0.
Desenvolvendo:
31{,}26\,T_f-1001{,}2=0 \quad\Longrightarrow\quad T_f=\frac{1001{,}2}{31{,}26}\approx32{,}0\;^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Para as entropias usamos
\Delta S =\int_{T_i}^{T_f}\frac{m\,c_p\,dT}{T} =m\,c_p\ln\frac{T_f}{T_i},
com temperaturas em kelvin. No ouro:
T_{i,\text{Au}}=120{,}0+273{,}15=393{,}15\,\mathrm K, \quad T_f=32{,}0+273{,}15=305{,}15\,\mathrm K,
\Delta S_{\text{Au}} =200\cdot0,0313\;\ln\!\Bigl(\frac{305{,}15}{393{,}15}\Bigr) =6{,}26\;\ln(0,7763) \approx6{,}26\times(-0{,}2531) \approx-1{,}59\;\mathrm{cal/K}.

Passo 4

Na água:
T_{i,\mathrm{H_2O}}=10{,}0+273{,}15=283{,}15\,\mathrm K, \quad T_f=305{,}15\,\mathrm K,
\Delta S_{\mathrm{H_2O}} =25\cdot1\;\ln\!\Bigl(\frac{305{,}15}{283{,}15}\Bigr) =25\;\ln(1,0777) \approx25\times0{,}0749 \approx1{,}87\;\mathrm{cal/K}.

Passo 5

A variação total de entropia do isolante é
\Delta S_{\text{tot}} =\Delta S_{\text{Au}}+\Delta S_{\mathrm{H_2O}} \approx -1{,}59 + 1{,}87 = 0{,}28\;\mathrm{cal/K}.

Resposta

(a) T_f\approx32{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
(b) \Delta S_{\text{Au}}\approx-1{,}59\;\mathrm{cal/K}.
(c) \Delta S_{\mathrm{H_2O}}\approx1{,}87\;\mathrm{cal/K}.
(d) \Delta S_{\text{tot}}\approx0{,}28\;\mathrm{cal/K}.

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