Ex. 16: Água a
e 10 kPa , entra em uma bomba adiabática e é descarregada a uma pressão de 8600 kPa . Se a eficiência da bomba é 0,75 , determine o trabalho da bomba, a variação de temperatura e da entropia da água. Dados
Passo 1
O enunciado dá água entrando numa bomba adiabática nas condições:
- Temperatura de entrada
. - Pressão de entrada
. - Pressão de saída
. - Eficiência da bomba
.
Pede-se:
- O trabalho da bomba (por unidade de massa).
- A variação de temperatura da água
. - A variação de entropia
.
Dados auxiliares fornecidos no enunciado (entre outros):
e uma correlação para
(válida para vapor ideal), que não usaremos diretamente para o líquido.
Observações importantes extraídas do enunciado:
- A equação de Antoine está disponível (podemos usá‑la para achar
em ). - Não há tabela explícita de propriedades (densidade ou
do líquido) no enunciado; será necessária uma aproximação razoável para o volume específico do líquido saturado em — isso é comum em exercícios de bomba: usa‑se do líquido praticamente constante. - A bomba é adiabática (sem troca de calor) e tem eficiência isentrópica dada; para bombas costuma‑se usar a definição
onde
é o trabalho ideal (isentrópico) e
o trabalho efetivo fornecido (positivo, entrada de trabalho).
Passo 2
Planejamento do método — fórmulas e conceitos que vou usar (explicação didática):
- Para líquidos praticamente incompressíveis vale a boa aproximação
onde
é entalpia específica (J/kg),
é o volume específico (m^3/kg) e
é a pressão (Pa). Isso vem da relação termodinâmica
. Para uma compressão líquida (pequena variação de temperatura) o termo
é pequeno comparado a
, e para cálculo de trabalho do pump usa‑se
.
- Trabalho isentrópico (ideal) por unidade de massa:
Aqui
é a entalpia do estado final se a compressão fosse isentrópica.
- Eficiência da bomba:
Importante: todos estes
são trabalho por unidade de massa (J/kg). Sinal: trabalho de bomba é positivo (entrada de energia).
- A variação de temperatura associada ao trabalho injetado pode ser obtida por
onde
é o calor específico do líquido (aproximadamente constante e para água líquida
). Isso vem de
para líquido incompressível.
- A variação de entropia do líquido (com
quase constante e constante) obtém‑se da relação termodinâmica integral:
Com
constante e
e
aproximados, isso dá a fórmula aproximada prática:
onde
é uma temperatura média apropriada em Kelvin (usarei a média aritmética
, que é suficiente para pequenas variações de
).
Resumo: vou (i) verificar se o estado inicial é líquido comprimido/saturado pelo uso da equação de Antoine; (ii) escolher um valor plausível para
do líquido em
; (iii) calcular
,
,
e
com as fórmulas acima, explicando as aproximações.
Passo 3
Verificação do estado inicial usando Antoine (peguei a fórmula de Antoine do enunciado).
Calcular
em
:
Primeiro o denominador:
.
Tomando exponencial:
Comparando com a pressão de entrada
vemos que
é ligeiramente maior que
. Portanto a água está em condição de líquido comprimido (ou ligeiramente sub-resfriada) a
e
. Isso justifica o uso da aproximação de líquido praticamente incompressível e o uso do volume específico do líquido saturado a
.
Passo 4
Escolha do volume específico do líquido
(explicação e justificativa):
- O exercício não fornece tabelas de água; em problemas de bombas é habitual aproximar o volume específico do líquido pelo volume específico do líquido saturado na mesma temperatura.
- Valor típico da densidade da água líquida em
é cerca de . Vou usar um valor representativo
que corresponde a
. Esta é uma aproximação realista e suficiente para cálculo de bombas (o resultado é pouco sensível a variações pequenas de
).
(Se for necessário, com tabela exata o valor muda pouco; para estimativas de máquina isto é aceitável.)
Passo 5
Cálculo do trabalho isentrópico
e do trabalho real
.
Converter pressões para Pascal:
Diferença de pressão:
Trabalho isentrópico (aproximação
):
Calculemos:
Trabalho real (usando
, lembrando
):
Interpretação: a bomba precisa fornecer cerca de
por quilograma de água para elevar a pressão de
a
com a eficiência dada.
Passo 6
Cálculo da variação de temperatura
(explicando a suposição sobre
).
Para água líquida geralmente usamos
. Assumo
constante na faixa pequena de temperatura aqui (algumas unidades de K).
Portanto:
Observação: a variação é pequena, o que confirma a validade das aproximações de líquido praticamente incompressível e
constante.
Passo 7
Cálculo da variação de entropia
usando a fórmula aproximada para líquido incompressível:
com temperaturas em Kelvin. Converter:
Temperatura média:
Calcular primeiro o termo térmico:
Razão
, e
.
Agora o termo de pressão:
(Aqui usei
.)
Portanto a variação de entropia:
Interpretação:
porque o processo real é irreversível (a bomba tem eficiência menor que 1); em uma compressão isentrópica teríamos
e trabalho menor.
Passo 8
Resumo das aproximações realizadas (importante para a prova):
- Usei Antoine para verificar que na entrada o fluido está em líquido comprimido (ou ligeiramente sub-resfriado).
- Assumi volume específico constante
igual ao do líquido saturado a , valor aproximado . Isso é padrão em exercícios de bombas. - Assumi
constante para calcular e o termo de entropia térmico. - Usei definição usual de eficiência para bombas
.
Se for exigido maior precisão numa prova com tabelas, substitui‑se
e
pelos valores tabulados à
. Mas o procedimento e as fórmulas são exatamente os que devem ser aplicados.