Ex. 16: Água a 45^{\circ} \mathrm{C} e 10 kPa , entra em uma bomba adiabática e é descarregada a uma pressão de 8600 kPa . Se a eficiência da bomba é 0,75 , determine o trabalho da bomba, a variação de temperatura e da entropia da água. Dados
\begin{gathered} \ln \left(P^{s a t}[k P a]\right)=A-\frac{B}{T\left[{ }^{\circ} C\right]+C}, \quad A=16,3872 \quad B 3885,70 \quad C=230,170 \\\ T c=647,1 K \quad P c=220,55 \text { bar } \quad \omega=0,345 \\\ \frac{C p^{i g}}{R}=A+B T+C T^{2}+D T^{-2}, \quad A=3,47 \quad B=1,45 \cdot 10^{-3} \quad C=0 \quad D=0,121 \cdot 10^{5} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá água entrando numa bomba adiabática nas condições:
  • Temperatura de entrada T_1 = 45^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de entrada P_1 = 10\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de saída P_2 = 8600\\ \mathrm{kPa}.
  • Eficiência da bomba \eta = 0{,}75.
Pede-se:
  • O trabalho da bomba (por unidade de massa).
  • A variação de temperatura da água \Delta T = T_2 - T_1.
  • A variação de entropia \Delta s = s_2 - s_1.
Dados auxiliares fornecidos no enunciado (entre outros):
\ln\!\big(P^{\text{sat}}[\mathrm{kPa}]\big)=A-\frac{B}{T[^\circ\mathrm{C}]+C},\quad A=16{,}3872,\\ B=3885{,}70,\\ C=230{,}170,
T_c=647{,}1\\ \mathrm{K},\quad P_c=220{,}55\\ \mathrm{bar},\quad \omega=0{,}345,
e uma correlação para C_p^{\text{ig}}/R (válida para vapor ideal), que não usaremos diretamente para o líquido.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação de Antoine está disponível (podemos usá‑la para achar P^{\text{sat}} em 45^\circ\mathrm{C}).
  • Não há tabela explícita de propriedades (densidade ou v_f do líquido) no enunciado; será necessária uma aproximação razoável para o volume específico do líquido saturado em 45^\circ\mathrm{C} — isso é comum em exercícios de bomba: usa‑se v do líquido praticamente constante.
  • A bomba é adiabática (sem troca de calor) e tem eficiência isentrópica dada; para bombas costuma‑se usar a definição
\eta = \frac{w_s}{w_{\text{real}}},
onde w_s é o trabalho ideal (isentrópico) e w_{\text{real}} o trabalho efetivo fornecido (positivo, entrada de trabalho).

Passo 2

Planejamento do método — fórmulas e conceitos que vou usar (explicação didática):
  1. Para líquidos praticamente incompressíveis vale a boa aproximação
\mathrm{d}h \approx v\,\mathrm{d}P,
onde h é entalpia específica (J/kg), v é o volume específico (m^3/kg) e P é a pressão (Pa). Isso vem da relação termodinâmica \mathrm{d}h = T\,\mathrm{d}s + v\,\mathrm{d}P. Para uma compressão líquida (pequena variação de temperatura) o termo T\,\mathrm{d}s é pequeno comparado a v\,\mathrm{d}P, e para cálculo de trabalho do pump usa‑se h_2-h_1 \approx v\,(P_2-P_1).
  1. Trabalho isentrópico (ideal) por unidade de massa:
w_s = h_{2s}-h_1 \approx v\,(P_2-P_1).
Aqui h_{2s} é a entalpia do estado final se a compressão fosse isentrópica.
  1. Eficiência da bomba:
\eta = \frac{w_s}{w_{\text{real}}}\quad\Longrightarrow\quad w_{\text{real}}=\frac{w_s}{\eta}.
Importante: todos estes w são trabalho por unidade de massa (J/kg). Sinal: trabalho de bomba é positivo (entrada de energia).
  1. A variação de temperatura associada ao trabalho injetado pode ser obtida por
\Delta T \approx \frac{w_{\text{real}}}{C_{p,\ell}},
onde C_{p,\ell} é o calor específico do líquido (aproximadamente constante e para água líquida C_{p,\ell}\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Isso vem de \mathrm{d}h\approx C_p\,\mathrm{d}T para líquido incompressível.
  1. A variação de entropia do líquido (com C_p quase constante e v constante) obtém‑se da relação termodinâmica integral:
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,\ell}}{T}\,\mathrm{d}T \;-\; \int_{P_1}^{P_2}\frac{v}{T}\,\mathrm{d}P.
Com C_{p,\ell} constante e v e T aproximados, isso dá a fórmula aproximada prática:
\Delta s \approx C_{p,\ell}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\;-\; \frac{v\,(P_2-P_1)}{T_{\text{m}}},
onde T_{\text{m}} é uma temperatura média apropriada em Kelvin (usarei a média aritmética T_{\text{m}}=(T_1+T_2)/2, que é suficiente para pequenas variações de T).
Resumo: vou (i) verificar se o estado inicial é líquido comprimido/saturado pelo uso da equação de Antoine; (ii) escolher um valor plausível para v do líquido em 45^\circ\mathrm{C}; (iii) calcular w_s, w_{\text{real}}, \Delta T e \Delta s com as fórmulas acima, explicando as aproximações.

Passo 3

Verificação do estado inicial usando Antoine (peguei a fórmula de Antoine do enunciado).
Calcular P^{\text{sat}} em T=45^\circ\mathrm{C}:
\ln\!\big(P^{\text{sat}}[\mathrm{kPa}]\big)=16{,}3872-\frac{3885{,}70}{45+230{,}170}
Primeiro o denominador: 45+230{,}170=275{,}17.
\frac{3885{,}70}{275{,}17}\approx 14{,}121\quad\Rightarrow\quad \ln\!\big(P^{\text{sat}}[\mathrm{kPa}]\big)\approx 16{,}3872-14{,}121=2{,}2662.
Tomando exponencial:
P^{\text{sat}}(45^\circ\mathrm{C})\approx e^{2{,}2662}\approx 9{,}64\\ \mathrm{kPa}.
Comparando com a pressão de entrada P_1=10\\ \mathrm{kPa} vemos que P_1 é ligeiramente maior que P^{\text{sat}}. Portanto a água está em condição de líquido comprimido (ou ligeiramente sub-resfriada) a 45^\circ\mathrm{C} e 10\\ \mathrm{kPa}. Isso justifica o uso da aproximação de líquido praticamente incompressível e o uso do volume específico do líquido saturado a 45^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Escolha do volume específico do líquido v (explicação e justificativa):
  • O exercício não fornece tabelas de água; em problemas de bombas é habitual aproximar o volume específico do líquido pelo volume específico do líquido saturado na mesma temperatura.
  • Valor típico da densidade da água líquida em 45^\circ\mathrm{C} é cerca de \rho \approx 990\text{--}993\\ \mathrm{kg/m^3}. Vou usar um valor representativo
v \approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg},
que corresponde a \rho\approx 988{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}. Esta é uma aproximação realista e suficiente para cálculo de bombas (o resultado é pouco sensível a variações pequenas de v).
(Se for necessário, com tabela exata o valor muda pouco; para estimativas de máquina isto é aceitável.)

Passo 5

Cálculo do trabalho isentrópico w_s e do trabalho real w_{\text{real}}.
Converter pressões para Pascal:
P_1 = 10\\ \mathrm{kPa}=10{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_2 = 8600\\ \mathrm{kPa}=8{,}600\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Diferença de pressão:
\Delta P = P_2-P_1 = (8600-10)\\ \mathrm{kPa}=8590\\ \mathrm{kPa}=8{,}590\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Trabalho isentrópico (aproximação w_s\approx v\Delta P):
w_s \approx v\,(P_2-P_1)=0{,}001012\cdot 8{,}590\times 10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.
Calculemos:
w_s \approx 8{,}693{,}08\\ \mathrm{J/kg}\approx 8{,}693\\ \mathrm{kJ/kg}.
Trabalho real (usando \eta=0{,}75, lembrando \eta=w_s/w_{\text{real}}):
w_{\text{real}}=\frac{w_s}{\eta}=\frac{8{,}693{,}08}{0{,}75}\\ \mathrm{J/kg}\approx 11{,}590{,}77\\ \mathrm{J/kg}\approx 11{,}591\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: a bomba precisa fornecer cerca de 11{,}59\\ \mathrm{kJ} por quilograma de água para elevar a pressão de 10\\ \mathrm{kPa} a 8600\\ \mathrm{kPa} com a eficiência dada.

Passo 6

Cálculo da variação de temperatura \Delta T (explicando a suposição sobre C_{p,\ell}).
Para água líquida geralmente usamos C_{p,\ell}\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Assumo C_{p,\ell} constante na faixa pequena de temperatura aqui (algumas unidades de K).
\Delta T \approx \frac{w_{\text{real}}}{C_{p,\ell}} = \frac{11{,}590{,}77\\ \mathrm{J/kg}}{4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}} \approx 2{,}7736\\ \mathrm{K}.
Portanto:
T_2 = T_1 + \Delta T = 45{,}00^\circ\mathrm{C} + 2{,}7736\\ \mathrm{K} \approx 47{,}77^\circ\mathrm{C}.
Observação: a variação é pequena, o que confirma a validade das aproximações de líquido praticamente incompressível e C_p constante.

Passo 7

Cálculo da variação de entropia \Delta s usando a fórmula aproximada para líquido incompressível:
\Delta s \approx C_{p,\ell}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \frac{v\,(P_2-P_1)}{T_{\text{m}}},
com temperaturas em Kelvin. Converter:
T_1 = 45^\circ\mathrm{C} = 318{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 47{,}77^\circ\mathrm{C} \approx 320{,}92\\ \mathrm{K}.
Temperatura média:
T_{\text{m}}=\frac{T_1+T_2}{2}\approx 319{,}54\\ \mathrm{K}.
Calcular primeiro o termo térmico:
C_{p,\ell}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =4180\cdot \ln\!\left(\frac{320{,}92}{318{,}15}\right)\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Razão 320{,}92/318{,}15\approx 1{,}008717, e \ln(1{,}008717)\approx 0{,}0086797.
C_{p,\ell}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 4180\cdot 0{,}0086797 \approx 36{,}29\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora o termo de pressão:
\frac{v\,(P_2-P_1)}{T_{\text{m}}}=\frac{8{,}693{,}08\\ \mathrm{J/kg}}{319{,}54\\ \mathrm{K}}\approx 27{,}20\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Aqui usei v\,(P_2-P_1)=w_s\approx 8{,}693{,}08\\ \mathrm{J/kg}.)
Portanto a variação de entropia:
\Delta s \approx 36{,}29 - 27{,}20 = 9{,}09\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Interpretação: \Delta s>0 porque o processo real é irreversível (a bomba tem eficiência menor que 1); em uma compressão isentrópica teríamos \Delta s=0 e trabalho menor.

Passo 8

Resumo das aproximações realizadas (importante para a prova):
  • Usei Antoine para verificar que na entrada o fluido está em líquido comprimido (ou ligeiramente sub-resfriado).
  • Assumi volume específico constante v igual ao do líquido saturado a 45^\circ\mathrm{C}, valor aproximado v=0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}. Isso é padrão em exercícios de bombas.
  • Assumi C_{p,\ell}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} constante para calcular \Delta T e o termo de entropia térmico.
  • Usei definição usual de eficiência para bombas \eta=w_s/w_{\text{real}}.
Se for exigido maior precisão numa prova com tabelas, substitui‑se v e C_p pelos valores tabulados à 45^\circ\mathrm{C}. Mas o procedimento e as fórmulas são exatamente os que devem ser aplicados.

Resposta

w_{\text{bomba}}=w_{\text{real}}\approx 11{,}591\\ \mathrm{kJ/kg}
\Delta T=T_2-T_1\approx 2{,}77\\ ^\circ\mathrm{C} (logo T_2\approx 47{,}77^\circ\mathrm{C})
\Delta s=s_2-s_1\approx 9{,}09\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}

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