Um reservatório instalado a cota 25 m em relação ao solo se encontra interligado a uma tubulação que passa pelos pontos A e B, cujas cotas são 22 m e 29 m respectivamente, e finaliza com um registro a cota 15 m . Determine:
a. a altura do nível de água do reservatório para que a pressão no registro seja de 1,2 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} ; \mathrm{h}=2 \mathrm{~m}
b. a pressão nos pontos A e B. P_{A}=5.000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2}, P_{\mathrm{A}}=49 \mathrm{kPa} ; P_{\mathrm{B}}=-2.000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2}, P_{\mathrm{A}}=- 19,6 \mathrm{kPa};
c. a localização do Plano de Carga Absoluto, considerando que a pressão atmosférica local é de 680 mmHg ; \mathrm{H}=36,25 \mathrm{~m}
d. . a altura da lamina de água no reservatório para que a pressão efetiva no ponto B seja zero. h=4m

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vier do enunciado será usado):
  • Dados geométricos (cotass):
    • reservatório instalado à cota 25\\ \mathrm{m} (referência do corpo do reservatório);
    • ponto A: cota 22\\ \mathrm{m};
    • ponto B: cota 29\\ \mathrm{m};
    • registro final: cota 15\\ \mathrm{m}.
  • Pressões e outras informações fornecidas no enunciado ou pedidas:
    • no item (a) pede: altura da lâmina de água do reservatório (vou chamar de h, medida em metros sobre a cota 25\\ \mathrm{m}) tal que a pressão no registro (cota 15\\ \mathrm{m}) seja de 1{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}.
    • no item (b) pede: a pressão nos pontos A e B. (O enunciado já mostra valores esperados para conferência.)
    • no item (c) pede: localização do Plano de Carga Absoluto, considerando que a pressão atmosférica local é 680\\ \mathrm{mmHg}.
    • no item (d) pede: a altura da lâmina de água no reservatório para que a pressão efetiva (pressão de manômetro, ou seja pressão relativa a atmosfera) no ponto B seja zero.
  • Constantes e convenções que usarei:
    • densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3};
    • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2};
    • relação entre pressão e altura de coluna de água (lei hidrostática, que usarei na resolução): \Delta p=\rho g \Delta z (explicarei detalhadamente no Passo 2).
  • Observação útil: quando se diz simplesmente “pressão no registro” normalmente entende-se pressão manométrica (acima da atmosférica), a menos que se diga “absoluta”. Vou trabalhar com essa interpretação (pressão pedida em (a) é pressão manométrica).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
  1. Lei hidrostática (o fundamento): para um fluido incompressível e em repouso, a diferença de pressão entre dois pontos verticais é dada por
\Delta p = p_2-p_1 = \rho g (z_1-z_2),
onde z é a cota vertical (altura) do ponto medido a partir do mesmo datum, \rho é a densidade do fluido e g é a gravidade. Escrevendo isoladamente a pressão manométrica relativa ao nível livre (aberto à atmosfera) com superfície à cota z_s, a pressão em um ponto de cota z é
p_{\text{man}}(z)=\rho g (z_s - z).
Isto significa: cada metro vertical de água gera uma determinada pressão; para água limpa \rho g =1000\cdot 9{,}81 =9810\\ \mathrm{Pa/m}. Assim, 1\\ \mathrm{m} de coluna de água corresponde a aproximadamente 9810\\ \mathrm{Pa} (ou 9{,}81\\ \mathrm{kPa}).
2) Unidades e conversões práticas que vou aplicar:
  • 1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} = 10^{4}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}. Para passar a Pascal (SI): 1\\ \mathrm{kgf} = 9{,}81\\ \mathrm{N}, então
1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} = 10^{4}\cdot 9{,}81\\ \mathrm{Pa} = 98{,}100\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox. }9{,}81\cdot 10^{4}\\ \mathrm{Pa}).
  • conversão de \mathrm{Pa} para altura de água: \text{altura (m)} = p/(\rho g).
  • pressão atmosférica a partir de mmHg: 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}. Então p_{\text{atm}}=680\cdot 133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
  1. Interpretação prática para cada item:
  • (a) usar p_{\text{man}}(\text{registro})=\rho g (z_s-z_{\text{registro}}) e isolar z_s; depois h=z_s-25.
  • (b) com z_s conhecido, calcular p_{\text{man}}(A) e p_{\text{man}}(B) via a mesma fórmula; apresentar resultados em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2} e \mathrm{kPa}.
  • (c) Plano de Carga Absoluto (também chamado de carga piezométrica absoluta da superfície) é a elevação equivalente que incorpora a pressão absoluta: H=z_s + p_{\text{atm}}/(\rho g). Vou calcular p_{\text{atm}}/(\rho g) e somar a z_s.
  • (d) pedir p_{\text{man}}(B)=0 e encontrar z_s e então h.

Passo 3

Queremos p_{\text{man}}(\text{registro})=1{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} com registro em z_{\text{registro}}=15\\ \mathrm{m}. Primeiro converto a pressão para Pascal e depois para altura de água:
  1. converter 1{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} para \mathrm{Pa}:
1{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} = 1{,}2\cdot 98{,}100\\ \mathrm{Pa} = 117{,}720\\ \mathrm{Pa}.
(Aproximação usando 98{,}100\\ \mathrm{Pa} por 1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}.)
2) altura de coluna de água equivalente:
z_s - z_{\text{registro}} = \frac{p_{\text{man}}}{\rho g} = \frac{117{,}720}{9810} = 12{,}00\\ \mathrm{m}.
  1. portanto a cota da superfície livre do reservatório é
z_s = z_{\text{registro}} + 12{,}00 = 15 + 12{,}00 = 27{,}00\\ \mathrm{m}.
  1. a altura h da lâmina sobre a cota 25\\ \mathrm{m} é
h = z_s - 25 = 27{,}00 - 25 = 2{,}00\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: com superfície a 27\\ \mathrm{m}, a coluna entre superfície e registro é 12\\ \mathrm{m} de água, gerando os 1{,}2\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} pedidos.

Passo 4

Com a superfície em z_s=27{,}00\\ \mathrm{m} (obtida no item (a)), aplico a lei hidrostática para os pontos A e B.
  1. ponto A (cota z_A=22\\ \mathrm{m}):
p_{\text{man}}(A)=\rho g (z_s - z_A)=9810\cdot(27{,}00-22{,}00)=9810\cdot 5{,}00=49{,}050\\ \mathrm{Pa}.
Converter para \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}: dividir por 9{,}81\\ \mathrm{N/kgf}
p_{\text{man}}(A)=\frac{49{,}050}{9{,}81}=5{,}000\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}.
Converter para kPa:
49{,}050\\ \mathrm{Pa}=49{,}05\\ \mathrm{kPa}.
  1. ponto B (cota z_B=29\\ \mathrm{m}):
p_{\text{man}}(B)=\rho g (z_s - z_B)=9810\cdot(27{,}00-29{,}00)=9810\cdot(-2{,}00)=-19{,}620\\ \mathrm{Pa}.
Em \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}:
p_{\text{man}}(B)=\frac{-19{,}620}{9{,}81}=-2{,}000\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}.
Em kPa:
-19{,}620\\ \mathrm{Pa}=-19{,}62\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: o sinal negativo indica depressão (pressão manométrica abaixo da atmosférica), ou seja sucção relativa à atmosfera.

Passo 5

Agora o Plano de Carga Absoluto. Primeiro converto a pressão atmosférica dada em \mathrm{mmHg} para Pa e depois para metros de coluna de água.
  1. pressão atmosférica em Pa:
p_{\text{atm}}=680\\ \mathrm{mmHg}\cdot 133{,}322\\ \mathrm{\tfrac{Pa}{mmHg}} = 90{,}658{,}96\\ \mathrm{Pa}\approx 90{,}659\\ \mathrm{Pa}.
  1. altura equivalente de água:
\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}=\frac{90{,}659}{9810}=9{,}244\\ \mathrm{m}.
  1. Plano de Carga Absoluto (a carga absoluta da superfície livre) é
H = z_s + \frac{p_{\text{atm}}}{\rho g} = 27{,}00 + 9{,}244 = 36{,}244\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática:
H \approx 36{,}25\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se se desenhasse uma “linha de carga” que inclua a pressão absoluta (em metros de água), ela passa por 36{,}25\\ \mathrm{m} na vertical acima do datum escolhido.

Passo 6

Queremos a altura da lâmina de água no reservatório (sobre a cota 25\\ \mathrm{m}) tal que a pressão efetiva (manométrica) em B seja zero: p_{\text{man}}(B)=0.
Usando a fórmula:
0 = \rho g (z_s - z_B) \quad\Rightarrow\quad z_s = z_B = 29{,}00\\ \mathrm{m}.
Logo a lâmina em relação à cota 25\\ \mathrm{m} é
h = z_s - 25 = 29{,}00 - 25 = 4{,}00\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com superfície a 29\\ \mathrm{m}, o ponto B fica exatamente à mesma cota da superfície, portanto sua pressão manométrica é nula (igual à atmosférica).

Resposta

(a) h=2{,}00\\ \mathrm{m}
(b) p_A=5{,}000\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}=49{,}05\\ \mathrm{kPa}
(b) p_B=-2{,}000\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{2}=-19{,}62\\ \mathrm{kPa}
(c) H=36{,}25\\ \mathrm{m}
(d) h=4{,}00\\ \mathrm{m}

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