Questão 47 - Em uma residência a caixa de água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) foi instalada na laje, que está a 3,2 metros do piso do imóvel, e no banheiro o chuveiro está a 2,10 \mathrm{~m} e a torneira da pia a 1,20 \mathrm{~m}. Considerando que a pressão mínima para acionamento do chuveiro de 0,15 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, determine:
a) A altura mínima da lâmina de água na caixa;
b) As cargas altimétricas e piezométricas, efetiva, do chuveiro e da torneira;
c) Qual a pressão estática que ocorre na torneira da pia.

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei todos estes números do enunciado):
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Laje (onde a caixa d’água está apoiada): está a 3{,}20\\ \mathrm{m} do piso (vamos tomar o piso como referência de cota z=0).
  • Altura do chuveiro: z_{\text{chuveiro}}=2{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Altura da torneira da pia: z_{\text{torneira}}=1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Pressão mínima exigida para acionar o chuveiro: p_{\min}=0{,}15\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O enunciado pede:
a) A altura mínima da lâmina de água na caixa (isto é, a profundidade de água na caixa acima da laje) que garanta a pressão mínima no chuveiro.
b) As cargas altimétrica e piezométrica (e a carga efetiva) do chuveiro e da torneira.
c) A pressão estática que ocorre na torneira da pia.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando com calma):
  • Pressão hidrostática devido a uma coluna de fluido: a pressão absoluta (gauge) causada por uma coluna de altura h é
p=\rho g h,
onde \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}) e h é a altura da coluna de água (em metros). Aqui p ficará em Pascal ( \mathrm{Pa}) se \rho em \mathrm{kg/m^3} e g em \mathrm{m/s^2}.
  • Cabe lembrar relações úteis de unidades:
1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=98100\\ \mathrm{Pa}\quad\text{(usando }1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}\text{)}.
  • Cabeça de pressão (pressure head) ou carga hidrostática é
\frac{p}{\rho g}=h\quad(\text{em metros de água}).á
  • Altimétrica (carga altimétrica) de um ponto é simplesmente sua cota z (em metros).
  • A carga piezométrica H em um ponto é a soma da carga de pressão (em metros) com a cota:
H=\frac{p}{\rho g}+z.
Interpretação prática: em escoamentos sem perda, a carga piezométrica é constante e igual à cota do espelho d’água do reservatório quando a superfície está livre.
Vamos converter a pressão mínima exigida para unidades úteis (metros de coluna d’água), porque isso facilita a conta de alturas.

Passo 3

Converter p_{\min}=0{,}15\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} para metros de coluna d’água.
Primeiro para Pascal:
p_{\min}=0{,}15\cdot98100\\ \mathrm{Pa}=14715\\ \mathrm{Pa}.
Agora a cabeça correspondente (metros de água):
\frac{p_{\min}}{\rho g}=\frac{14715}{1000\cdot9{,}81}=\frac{14715}{9810}=1{,}50\\ \mathrm{m}.
Interpretação: para ter 0{,}15\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} no chuveiro é preciso que a superfície livre da água esteja 1{,}50\\ \mathrm{m} acima da cota do chuveiro (ignorando perdas).

Passo 4

Determinar a altura mínima da lâmina de água na caixa (profundidade medida a partir da laje).
Seja h_{\text{lâmina}}â a profundidade de água na caixa acima da laje. A cota da superfície livre da caixa será
z_{\text{superf}}=z_{\text{laje}}+h_{\text{lâmina}}.â
Para garantir a pressão mínima no chuveiro, precisamos que a diferença de cota entre a superfície livre e o chuveiro seja pelo menos 1{,}50\\ \mathrm{m}:
z_{\text{superf}}-z_{\text{chuveiro}}=1{,}50\\ \mathrm{m}.
Substituindo z_{\text{superf}}=3{,}20+h_{\text{lâmina}}â e z_{\text{chuveiro}}=2{,}10:
(3{,}20+h_{\text{lâmina}})-2{,}10=1{,}50.â
Resolvendo para h_{\text{lâmina}}â:
h_{\text{lâmina}}=1{,}50- (3{,}20-2{,}10)=1{,}50-1{,}10=0{,}40\\ \mathrm{m}.â
Então a lâmina mínima de água na caixa (profundidade sobre a laje) é 0{,}40\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora vamos calcular as cargas pedidas para o chuveiro e para a torneira usando o caso em que a lâmina é a mínima encontrada ( h_{\text{lâmina}}=0{,}40\\ \mathrm{m}â).
Primeiro a cota da superfície livre:
z_{\text{superf}}=3{,}20+0{,}40=3{,}60\\ \mathrm{m}.
Para o chuveiro ( z_{\text{chuveiro}}=2{,}10\\ \mathrm{m}):
  • carga de pressão (head) em metros:
\frac{p_{\text{chuveiro}}}{\rho g}=z_{\text{superf}}-z_{\text{chuveiro}}=3{,}60-2{,}10=1{,}50\\ \mathrm{m}.
(Isto já era o requisito, corresponde a 0{,}15\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.)
  • carga piezométrica:
H_{\text{chuveiro}}=\frac{p_{\text{chuveiro}}}{\rho g}+z_{\text{chuveiro}}=1{,}50+2{,}10=3{,}60\\ \mathrm{m}.
  • altimétrica (cota): z_{\text{chuveiro}}=2{,}10\\ \mathrm{m}.
Para a torneira ( z_{\text{torneira}}=1{,}20\\ \mathrm{m}):
  • carga de pressão (head) em metros:
\frac{p_{\text{torneira}}}{\rho g}=z_{\text{superf}}-z_{\text{torneira}}=3{,}60-1{,}20=2{,}40\\ \mathrm{m}.
  • carga piezométrica:
H_{\text{torneira}}=\frac{p_{\text{torneira}}}{\rho g}+z_{\text{torneira}}=2{,}40+1{,}20=3{,}60\\ \mathrm{m}.
  • altimétrica (cota): z_{\text{torneira}}=1{,}20\\ \mathrm{m}.
Observação didática e intuitiva: nota-se que, desprezando perdas, a carga piezométrica é a mesma em ambos os pontos e igual à cota da superfície livre ( 3{,}60\\ \mathrm{m}). Isso é o que a teoria de hidrostatica/fluido sem perda prevê: superfície livre determina a carga piezométrica disponível.

Passo 6

Calcular a pressão estática num valor prático para a torneira (parte c), em unidades usuais.
Usando a cabeça já calculada \frac{p_{\text{torneira}}}{\rho g}=2{,}40\\ \mathrm{m}, obtemos a pressão em Pascal:
p_{\text{torneira}}=\rho g\cdot2{,}40=1000\cdot9{,}81\cdot2{,}40=23544\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{kgf/cm^{2}}:
p_{\text{torneira}}=\frac{23544}{98100}=0{,}240\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Também é útil dizer que em metros de coluna d’água essa pressão corresponde a 2{,}40\\ \mathrm{m} (já calculado).

Resposta

(a) h_{\text{lâmina,min}}=0{,}40\\ \mathrm{m}.â
(b) Chuveiro: carga altimétrica z_{\text{chuveiro}}=2{,}10\\ \mathrm{m}; carga de pressão \dfrac{p}{\rho g}=1{,}50\\ \mathrm{m}; carga piezométrica H_{\text{chuveiro}}=3{,}60\\ \mathrm{m}.
Torneira: carga altimétrica z_{\text{torneira}}=1{,}20\\ \mathrm{m}; carga de pressão \dfrac{p}{\rho g}=2{,}40\\ \mathrm{m}; carga piezométrica H_{\text{torneira}}=3{,}60\\ \mathrm{m}.
(c) Pressão estática na torneira: p_{\text{torneira}}=23544\\ \mathrm{Pa}\approx0{,}240\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} (equivalente a 2{,}40\\ \mathrm{m} de coluna d’água).

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