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Considere as funçöes apresentadas na coluna A e relacione-as com as respectivas propriedades de limite e continuidade,na coluna B
Tempo restante 1:

Coluna A

1. f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2} ,para x 2 e f(2)=2
2. g(x)=\frac{\sin (x)}{x} ,para x 0 e g(0)=1
3. h(x)=\frac{x^{3}+x-6}{x-2} ,para x \neq 2 e h(2)=-1
4. t(x)=x^{3}+3 x^{2}-4 x-12
5. f(x)=\frac{|x|}{x}

Coluna B

a.Limite existe,e a funçâo é continua.
b.Limite existe,mas a funçăo năo é contínua.
c.Limite năo existe,e a funçằo năo é continua.
d.A funçăo é continua em todo o seu dominio.
Assinale a alternativa que relaciona as colunas corretamente.

Passo 1

Temos cinco funções em “pontos críticos” (onde há divisão por zero ou definição pontual) e precisamos dizer para cada uma se o limite existe e se ela é contínua naquele ponto. O conteúdo é limite e continuidade de funções com possíveis descontinuidades removíveis, de salto ou essenciais.

Passo 2

Considere
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},\quad x\neq2,\quad f(2)=2.
Para x\neq2 temos f(x)=x+2. Então
\lim_{x\to2}f(x)=2+2=4,
mas f(2)=2\neq4. Logo o limite existe, porém a função não é contínua em x=2. Isso corresponde à opção b.

Passo 3

Considere
g(x)=\frac{\sin(x)}{x},\quad x\neq0,\quad g(0)=1.
Sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1
e foi definido g(0)=1, igual ao limite. Assim o limite existe e a função é contínua em x=0. Isso corresponde à opção a.

Passo 4

Considere
h(x)=\frac{x^{3}+x-6}{x-2},\quad x\neq2,\quad h(2)=-1.
No limite x\to2, o denominador vai a zero mas o numerador tende a 2^{3}+2-6=4\neq0, então
\lim_{x\to2}h(x)=\pm\infty
ou, de modo geral, o limite não existe finitamente, e a função não é contínua em x=2. Isso corresponde à opção c.

Passo 5

Considere
t(x)=x^{3}+3x^{2}-4x-12.
É um polinômio, logo é contínuo em todo o domínio (que são todos os reais) e não há nenhum ponto de descontinuidade. Isso corresponde à opção d.

Passo 6

Considere
f(x)=\frac{|x|}{x},\quad x\neq0.
Ao aproximar x\to0^+ obtemos f(x)=1 e para x\to0^- obtemos f(x)=-1. Portanto
\lim_{x\to0}f(x)
não existe (os limites laterais são diferentes) e a função não é contínua em 0. Isso também corresponde à opção c.

Resposta

1–b
2–a
3–c
4–d
5–c

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