"-16 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas. Elas passam uma pela outra, movendo-se em sentidos opostos, toda vez que o deslocamento é metade da amplitude. Qual é a diferença de fase entre as partículas?
  • " 17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ). Em um dado instante t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são
    x=0,100 \mathrm{~m}, v=-13,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a=-123 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule (a) a frequência das oscilações, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

Passo 1

Problema -16: duas partículas fazem movimentos harmônicos simples com mesma amplitude e mesma frequência, em retas paralelas próximas. Informação dada: elas “se passam” uma pela outra (ocupam a mesma posição) e estão em sentidos opostos (velocidades opostas) sempre que o deslocamento vale metade da amplitude. Pergunta: qual é a diferença de fase entre as partículas?
Problema 17: um oscilador massa-mola tem constante elástica \,k=400\\ \mathrm{N/m}. Num instante dado temos as grandezas medidas (todas medidas a partir da posição de equilíbrio):
x=0,100\\ \mathrm{m},\qquad v=-13,6\\ \mathrm{m/s},\qquad a=-123\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Perguntas: (a) qual a frequência das oscilações? (b) qual a massa do bloco? (c) qual a amplitude do movimento?

Passo 2

Entendendo e modelando o movimento harmônico (parte didática útil para o -16 e para o 17). Para um movimento harmônico simples de amplitude \,A e pulsação \,\omega escrevemos, escolhendo uma referência de fase,
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,x(t) é o deslocamento em função do tempo (positivo para a mesma direção escolhida),
  • \,A é a amplitude (máximo valor absoluto de x),
  • \,\omega é a pulsação (rad/s),
  • \,\varphi é a fase inicial no instante de referência.
    A velocidade e a aceleração derivam disso:
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi), \qquad a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^{2}x(t).
A relação a(t)=-\omega^{2}x(t) é importante: a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento em qualquer instante.

Passo 3

Resolvendo o problema -16. Vamos escrever as posições das duas partículas usando a mesma amplitude A e mesma pulsação \omega, escolhendo a fase da partícula 1 como referência ( \varphi_{1}=0) e definindo a diferença de fase \Delta\varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=\varphi_{2}.
x_{1}(t)=A\cos(\omega t), \qquad x_{2}(t)=A\cos(\omega t+\Delta\varphi).
A condição do enunciado: elas se encontram quando o deslocamento vale metade da amplitude; isso significa que naquele instante comum temos
x_{1}=x_{2}=\pm\frac{A}{2}.
Escolhemos o caso x=\dfrac{A}{2} (o caso negativo dá resultado análogo em módulo), logo
\cos(\omega t)=\frac{1}{2}.
As soluções para \cos(\theta)=\tfrac{1}{2} são
\theta=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Assim, um dos instantes relevantes satisfaz \omega t=\alpha com \alpha=\pm\frac{\pi}{3} (vou usar \alpha=\frac{\pi}{3} sem perda de generalidade).

Passo 4

Continuando -16: exigimos também que, nesse mesmo instante, x_{2}=A/2, ou seja
\cos(\omega t+\Delta\varphi)=\frac{1}{2}.
Com \omega t=\alpha temos
\cos(\alpha+\Delta\varphi)=\cos\alpha.
A identidade \cos u=\cos v implica duas famílias de soluções: u=v+2k\pi ou u=-v+2k\pi. Aplicando a \alpha+\Delta\varphi e \alpha obtemos as duas possibilidades:
  1. \alpha+\Delta\varphi=\alpha+2k\pi \Rightarrow \Delta\varphi=2k\pi (fase nula, partículas em fase).
  2. \alpha+\Delta\varphi=-\alpha+2k\pi \Rightarrow \Delta\varphi=-2\alpha+2k\pi.

Passo 5

Agora verificamos qual opção corresponde a “movendo-se em sentidos opostos” (velocidades opostas) no instante em que x=A/2.
A velocidade da partícula 1 no instante é
v_{1}=-A\omega\sin(\alpha).
A velocidade da partícula 2 é
v_{2}=-A\omega\sin(\alpha+\Delta\varphi).
Se escolhermos \Delta\varphi=0 (caso 1) então \sin(\alpha+\Delta\varphi)=\sin\alpha e v_{2}=v_{1}: as velocidades têm o mesmo sentido — isso não cumpre a condição do enunciado. Portanto descartamos \Delta\varphi=0.
Escolhendo a solução 2, com \Delta\varphi=-2\alpha+2k\pi, e lembrando \alpha=\pm\frac{\pi}{3}, tomamos a menor magnitude de fase não nula: para \alpha=\frac{\pi}{3} obtemos
\Delta\varphi=-2\cdot\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}\quad(\text{ou, módulo }2\pi,\\ \tfrac{4\pi}{3}).ó
Verificamos o sinal das velocidades com \Delta\varphi=-2\alpha:
\sin(\alpha+\Delta\varphi)=\sin(\alpha-2\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,
portanto
v_{2}=-A\omega\sin(\alpha+\Delta\varphi)=-A\omega(-\sin\alpha)=+A\omega\sin\alpha=-v_{1}.
Logo as velocidades são opostas, como pedido. Em módulo a diferença de fase essencial é
\left|\Delta\varphi\right|=\frac{2\pi}{3} \quad\text{(radianos)} = 120^\circ.

Passo 6

Resumo final do -16 (conclusão didática curta): a condição de posições iguais \cos iguais dá duas possibilidades; a que produz velocidades opostas corresponde a \Delta\varphi=\pm\tfrac{2\pi}{3}. Em provas lembre-se: pedir “sentidos opostos” implica comparar os sinais das velocidades, portanto descarte a solução trivial de mesma fase.

Passo 7

Resolvendo 17: usar a relação direta já comentada entre aceleração e deslocamento:
a(t)=-\omega^{2}x(t).
Essa fórmula vale em qualquer instante para o MHS e é a forma mais direta de obter \omega quando conhecemos a e x. Isolando \omega^{2},
\omega^{2}=-\frac{a}{x}.
Substituindo os valores dados \,a=-123\\ \mathrm{m/s^{2}} e \,x=0,100\\ \mathrm{m},
\omega^{2}=-\frac{-123}{0,100}=\frac{123}{0,100}=1230.
Portanto
\omega=\sqrt{1230}\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Ainda 17, item (a): a frequência \,f (em Hz) está relacionada com \omega por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Usando \omega\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s},
f\approx\frac{35,07}{2\pi}\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}.

Passo 9

Item (b): massa do bloco. A pulsação \omega de um sistema massa-mola segue
\omega^{2}=\frac{k}{m}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{k}{\omega^{2}}.
Substituindo \,k=400\\ \mathrm{N/m} e \omega^{2}=1230,
m=\frac{400}{1230}\approx 0,325\\ \mathrm{kg}.

Passo 10

Item (c): amplitude. Uma identidade útil que vem da forma x=A\cos\theta, v=-A\omega\sin\theta é
\left(\frac{x}{A}\right)^{2}+\left(\frac{v}{A\omega}\right)^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
que reorganizada dá
A^{2}=x^{2}+\left(\frac{v}{\omega}\right)^{2}.
Substituímos os valores numéricos: x=0,100\\ \mathrm{m}, v=-13,6\\ \mathrm{m/s}, \omega\approx 35,07\\ \mathrm{rad/s}. Calculamos primeiro \dfrac{v}{\omega}:
\frac{v}{\omega}\approx\frac{-13,6}{35,07}\approx -0,3879\\ \mathrm{m}.
Cuadrados:
x^{2}=0,100^{2}=0,0100\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad \left(\frac{v}{\omega}\right)^{2}\approx( -0,3879)^{2}\approx 0,1505\\ \mathrm{m^{2}}.
Somando,
A^{2}\approx 0,0100+0,1505=0,1605,
logo
A\approx\sqrt{0,1605}\approx 0,401\\ \mathrm{m}.
(Verificação intuitiva: amplitude maior que o deslocamento instantâneo 0,100\\ \mathrm{m} e compatível com alta velocidade instantânea.)

Resposta

-16: \displaystyle \frac{2\pi}{3} rad =120^\circ
17 (a) f\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}
17 (b) m\approx 0,325\\ \mathrm{kg}
17 (c) A\approx 0,401\\ \mathrm{m}

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