"-16 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas. Elas passam uma pela outra, movendo-se em sentidos opostos, toda vez que o deslocamento é metade da amplitude. Qual é a diferença de fase entre as partículas?
- " 17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (
). Em um dado instante
, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são
e
. Calcule (a) a frequência das oscilações, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.
Passo 1
Problema
: duas partículas fazem movimentos harmônicos simples com mesma amplitude e mesma frequência, em retas paralelas próximas. Informação dada: elas “se passam” uma pela outra (ocupam a mesma posição) e estão em sentidos opostos (velocidades opostas) sempre que o deslocamento vale metade da amplitude. Pergunta: qual é a diferença de fase entre as partículas?
Problema
: um oscilador massa-mola tem constante elástica
. Num instante dado temos as grandezas medidas (todas medidas a partir da posição de equilíbrio):
Perguntas: (a) qual a frequência das oscilações? (b) qual a massa do bloco? (c) qual a amplitude do movimento?
Passo 2
Entendendo e modelando o movimento harmônico (parte didática útil para o
e para o
). Para um movimento harmônico simples de amplitude
e pulsação
escrevemos, escolhendo uma referência de fase,
onde:
-
é o deslocamento em função do tempo (positivo para a mesma direção escolhida), -
é a amplitude (máximo valor absoluto de ), -
é a pulsação (rad/s), -
é a fase inicial no instante de referência.
A velocidade e a aceleração derivam disso:
A relação
é importante: a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento em qualquer instante.
Passo 3
Resolvendo o problema
. Vamos escrever as posições das duas partículas usando a mesma amplitude
e mesma pulsação
, escolhendo a fase da partícula 1 como referência (
) e definindo a diferença de fase
.
A condição do enunciado: elas se encontram quando o deslocamento vale metade da amplitude; isso significa que naquele instante comum temos
Escolhemos o caso
(o caso negativo dá resultado análogo em módulo), logo
As soluções para
são
Assim, um dos instantes relevantes satisfaz
com
(vou usar
sem perda de generalidade).
Passo 4
Continuando
: exigimos também que, nesse mesmo instante,
, ou seja
Com
temos
A identidade
implica duas famílias de soluções:
ou
. Aplicando a
e
obtemos as duas possibilidades:
-
(fase nula, partículas em fase). -
.
Passo 5
Agora verificamos qual opção corresponde a “movendo-se em sentidos opostos” (velocidades opostas) no instante em que
.
A velocidade da partícula 1 no instante é
A velocidade da partícula 1 no instante é
A velocidade da partícula 2 é
Se escolhermos
(caso 1) então
e
: as velocidades têm o mesmo sentido — isso não cumpre a condição do enunciado. Portanto descartamos
.
Escolhendo a solução 2, com
, e lembrando
, tomamos a menor magnitude de fase não nula: para
obtemos
Verificamos o sinal das velocidades com
:
portanto
Logo as velocidades são opostas, como pedido. Em módulo a diferença de fase essencial é
Passo 6
Resumo final do
(conclusão didática curta): a condição de posições iguais
iguais dá duas possibilidades; a que produz velocidades opostas corresponde a
. Em provas lembre-se: pedir “sentidos opostos” implica comparar os sinais das velocidades, portanto descarte a solução trivial de mesma fase.
Passo 7
Resolvendo
: usar a relação direta já comentada entre aceleração e deslocamento:
Essa fórmula vale em qualquer instante para o MHS e é a forma mais direta de obter
quando conhecemos
e
. Isolando
,
Substituindo os valores dados
e
,
Portanto
Passo 8
Ainda
, item (a): a frequência
(em Hz) está relacionada com
por
Usando
,
Passo 9
Item (b): massa do bloco. A pulsação
de um sistema massa-mola segue
Substituindo
e
,
Passo 10
Item (c): amplitude. Uma identidade útil que vem da forma
,
é
que reorganizada dá
Substituímos os valores numéricos:
,
,
. Calculamos primeiro
:
Cuadrados:
Somando,
logo
(Verificação intuitiva: amplitude maior que o deslocamento instantâneo
e compatível com alta velocidade instantânea.)
Resposta
-16:
rad
17 (a)
17 (b)
17 (c)
17 (b)
17 (c)