Questīo 2. A reginio
tem
. Se
e
, encontre a distribuição de potencial, o campo elétrico
em todos os pontos e a densidade superficial em
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Região considerada:
. - Densidade de carga volumétrica (dada no enunciado):
. - Condições de contorno para o potencial:
e . - Pedidos:
- Encontrar a distribuição do potencial
para . - Encontrar o campo elétrico
em todos os pontos da região (ou seja, para ). - Encontrar as densidades de carga superficial em
e em .
- Encontrar a distribuição do potencial
Todas as quantidades elétricas estão no regime eletrostático. Não há outras informações sobre condutores fora da região, então vamos assumir que as superfícies em
e
são superfícies metálicas (placas) mantidas nos potenciais indicados; por isso existirão densidades superficiais necessárias para satisfazer esses potenciais.
Passo 2
Qual equação relaciona
e
? Aqui usa-se a equação de Poisson unidimensional (obtida a partir da lei de Gauss na forma diferencial):
Explicação curta e prática:
é a densidade de carga volumétrica (C·m^{-3}),
é a permissividade do vácuo, e
indica como o potencial curva devido às cargas. Vamos substituir
nessa equação e resolver a equação diferencial com as condições
e
.
Passo 3
Substituindo
em Poisson:
Agora integramos uma vez em relação a
para obter
. Integração passo a passo:
Calcule a integral
. Portanto
Simplificando os termos:
Passo 4
Integramos novamente para obter
. Integração termo a termo:
Calculando as integrais:
Logo
Simplificando o primeiro coeficiente:
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para determinar
e
.
Usando
:
Portanto
.
Usando
:
Calcule os termos com
:
Somando esses dois termos:
Então
Passo 6
Escrevemos a solução final para o potencial
substituindo
e
:
Esta é a distribuição de potencial para
. Pequena verificação mental: para
dá
; para
dá
por construção.
Passo 7
Agora obtemos o campo elétrico. Em eletrostática o campo está relacionado ao potencial por
Aqui é unidimensional, logo
. Já tínhamos
na Passo 3; substituindo
obtemos:
Portanto
Podemos reescrever os termos envolvendo
juntos se quiser, mas a forma acima é explícita e direta.
Passo 8
Agora calculamos as densidades superficiais nas superfícies em
e
.
Teoria rápida (Gauss/pillbox): a densidade superficial livre
numa superfície condutora que separa uma região onde o campo é
do condutor (onde
) satisfaz
onde
é o versor normal que aponta do condutor para o dielétrico (ou região com campo). Usamos isso para cada face considerando o campo imediatamente fora da superfície (do lado do dielétrico), i.e.,
e
.
Em termos do componente
:
- Para
: o normal do condutor (placa em ) apontando para a região é . Logo
Do passo anterior
. Avaliando em
:
Logo
- Para
: o condutor à direita tem o versor normal apontando para a região igual a (do condutor para o dielétrico aponta para a esquerda). A relação de Gauss dá , ou seja
Avaliando
em
:
Combine os termos com
:
. Então
Logo
Observação rápida: notamos que
mais a carga volumétrica total deveria satisfazer conservação de carga; pode-se checar se quiser, mas as expressões acima são consistentes com as derivadas obtidas.