O QI de 16 estudantes de uma zona pobre de uma certa cidade apresenta a média de 107 pontos com desvio padrão de 10 pontos, enquanto os 14 estudantes de outra região rica da cidade apresentam média de 112 pontos com desvio padrão de 8 pontos. O QI em ambas as regiões tem distribuição normal. Há diferença significativa entre os Qls médios dos grupos a 5%?

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras independentes de QI com distribuição normal: na região pobre temos n_1=16, \bar x_1=107 e s_1=10; na região rica, n_2=14, \bar x_2=112 e s_2=8. Queremos testar, a 5% de significância, se há diferença significativa entre as médias dos dois grupos usando o teste t de Welch para duas médias com variâncias desconhecidas.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa:
H_0: \mu_1 = \mu_2
H_1: \mu_1 \neq \mu_2
Isso configura um teste bilateral com nível de significância \alpha=0,05.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste
t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}.
Substituindo os valores:
\frac{s_1^2}{n_1} = \frac{10^2}{16} = 6,25, \quad \frac{s_2^2}{n_2} = \frac{8^2}{14} \approx 4,5714,
logo o erro padrão conjunto é
\sqrt{6,25 + 4,5714} \approx 3,289.
Portanto,
t = \frac{107 - 112}{3,289} \approx -1,52.

Passo 4

Usamos a fórmula de Welch para obter os graus de liberdade aproximados:
\nu = \frac{\bigl(\tfrac{s_1^2}{n_1} + \tfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^2} {\tfrac{\bigl(\tfrac{s_1^2}{n_1}\bigr)^2}{n_1 - 1} + \tfrac{\bigl(\tfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^2}{n_2 - 1}}.
Substituindo:
\nu \approx \frac{(6,25 + 4,5714)^2}{\frac{6,25^2}{15} + \frac{4,5714^2}{13}} \approx 27,8 \approx 28.

Passo 5

Para \alpha=0,05 em um teste bilateral, o valor crítico é
t_{1-\alpha/2,\nu} = t_{0,975,28} \approx 2,048.

Passo 6

Comparamos |t|\approx 1,52 com o valor crítico 2,048. Como
|t| < t_{0,975,28},
não rejeitamos H_0. Não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa entre as médias a 5%.

Resposta

Não há diferença significativa entre os QIs médios dos dois grupos a 5% de significância.

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