Duas amostras de 10 elementos forneceram, respectivamente:
\begin{aligned} & \bar{x}_{1}=29,5 \text { e } S_{1}^{2}=5,24 \\\ & \bar{x}_{2}=31,2 \text { e } S_{2}^{2}=3,90 \end{aligned}
Testar a hipótese de que a primeira amostra provenha de uma população cuja média seja inferior a média da outra população, ao nível de 5%.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de tamanhos n_{1}=10 e n_{2}=10 com médias amostrais e variâncias amostrais
\bar{x}_{1}=29{,}5,\quad S_{1}^{2}=5{,}24,
\bar{x}_{2}=31{,}2,\quad S_{2}^{2}=3{,}90,
e pede testar, ao nível de 5\%, as hipóteses
H_{0}: \mu_{1}\ge\mu_{2} \quad\text{versus}\quad H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2}.
Como as variâncias populacionais são desconhecidas mas supostas iguais, usaremos o teste t com variância agrupada.

Passo 2

Calculamos a variância agrupada \,S_{p}^{2} segundo
S_{p}^{2} =\frac{(n_{1}-1)\,S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\,S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} =\frac{9\cdot5{,}24+9\cdot3{,}90}{18} =\frac{82{,}26}{18} \approx4{,}570.

Passo 3

O erro-padrão da diferença de médias é
SE =\sqrt{S_{p}^{2}\Bigl(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\Bigr)} =\sqrt{4{,}570\cdot\bigl(0{,}1+0{,}1\bigr)} =\sqrt{0{,}914} \approx0{,}956.
A estatística de teste é
t =\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{SE} =\frac{29{,}5-31{,}2}{0{,}956} \approx-1{,}778.

Passo 4

Para df=n_{1}+n_{2}-2=18 e nível \alpha=0{,}05 (unilateral à esquerda), o valor crítico é
t_{0{,}95;\,18}\approx1{,}734,
logo rejeitamos H_{0} se
t< -\,1{,}734.
Como t\approx-1{,}778 < -1{,}734, rejeitamos H_{0}.

Resposta

Rejeita-se H_{0} ao nível de 5\%; há evidência de que a média da primeira população seja inferior à da segunda.

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