16- O hidrogênio gasoso é armazenado em tanques de alta pressão para uso em veículos movidos a célula a combustível. Considere as afirmativas abaixo, marque como verdadeira ou falso e justifique sua resposta.
a. Em altas pressões, o comportamento do hidrogênio afasta-se do modelo de gás ideal devido ao volume próprio das moléculas.
b. A velocidade quadrática média das moléculas de \mathrm{H}_{2} é maior que a de \mathrm{O}_{2} à mesma temperatura, pois H_{2} tem menor massa molar.
c. A pressão no tanque é independente da temperatura, desde que o volume seja constante.
d. As colisões entre moléculas de hidrogênio e com as paredes do tanque são consideradas elásticas no modelo cinético.
e. O livre caminho médio das moléculas diminui com o aumento da pressão, devido à maior densidade numérica.
Passo 1
O enunciado pede para marcar cada afirmativa (a)–(e) como verdadeira ou falsa e justificar. As afirmativas são:
a. Em altas pressões, o comportamento do hidrogênio afasta-se do modelo de gás ideal devido ao volume próprio das moléculas.
b. A velocidade quadrática média das moléculas de \mathrm{H}_{2} é maior que a de \mathrm{O}_{2} à mesma temperatura, pois \mathrm{H}_{2} tem menor massa molar.
c. A pressão no tanque é independente da temperatura, desde que o volume seja constante.
d. As colisões entre moléculas de hidrogênio e com as paredes do tanque são consideradas elásticas no modelo cinético.
e. O livre caminho médio das moléculas diminui com o aumento da pressão, devido à maior densidade numérica.
Informações implícitas que vamos usar (não foi pedido para calcular nada além de justificar): leis básicas dos gases e resultados da teoria cinética (velocidade quadrática média, média livre etc.). Abaixo eu trato cada afirmativa, explicando a teoria necessária passo a passo.
Passo 2
Conceitos básicos do modelo de gás ideal (para entender quando ele falha).
O modelo de gás ideal faz as seguintes suposições principais: as moléculas são partículas puntiformes (volume próprio desprezível), não há forças intermoleculares (exceto durante colisões instantâneas), e as colisões entre moléculas e com as paredes são elásticas. Essas hipóteses levam à equação de estado
PV=nRT,
onde P é pressão, V é volume do recipiente, n é número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta.
Quando a pressão aumenta (ou a temperatura cai muito), duas coisas tornam as suposições inválidas: (i) o volume ocupado pelas próprias moléculas deixa de ser desprezível; (ii) forças intermoleculares (atração/repulsão) ficam importantes. Para modelar isso, usa-se por exemplo a equação de van der Waals:
onde a corrige forças atrativas e b representa o volume efetivo ocupado por 1 mol de moléculas.
Conclusão de conceito: se o enunciado fala “afasta-se do modelo ideal em altas pressões devido ao volume próprio”, isso se relaciona diretamente com o termo b da van der Waals.
Agora aplico isso à afirmativa (a).
Passo 3
Análise da afirmativa (a).
Afirmativa: “Em altas pressões, o comportamento do hidrogênio afasta-se do modelo de gás ideal devido ao volume próprio das moléculas.”
Justificativa didática: em altas pressões o espaço livre entre moléculas diminui; o volume físico das moléculas passa a representar uma fração não desprezível do volume total. A correção correspondente na equação de van der Waals é o termo b, que subtrai nb do volume disponível para movimento. Portanto o desvio do comportamento ideal tem, entre outras causas, o efeito do volume molecular próprio. Além disso é bom saber: além do efeito do volume (termo b), atrações intermoleculares (termo a) também contribuem; a afirmativa menciona corretamente uma das causas principais.
Conclusão: a afirmativa é verdadeira (a resposta pede marcar V/F e justificar).
Passo 4
Análise da afirmativa (b) com ensino da teoria necessária (velocidade quadrática média).
Conceito: na teoria cinética, a velocidade quadrática média (ou velocidade RMS) de moléculas de um gás ideal é dada por
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde R é a constante dos gases, T a temperatura absoluta e M a massa molar em \mathrm{kg\;mol^{-1}}. Aqui v_{\mathrm{rms}} aumenta quando T aumenta e diminui quando M aumenta.
Aplicação prática: comparar \mathrm{H}_{2} e \mathrm{O}_{2}. As massas molares (em \mathrm{kg\;mol^{-1}}) são aproximadamente \;M_{\mathrm{H}_2}=2{,}0\times10^{-3} e \;M_{\mathrm{O}_2}=32{,}0\times10^{-3}. O quociente das velocidades é
Logo, à mesma temperatura as moléculas de \mathrm{H}_2 têm velocidade quadrática média 4 vezes maior que as de \mathrm{O}_2.
Interpretação simples: massa menor → mesmo conteúdo energético térmico → maior velocidade típica.
Conclusão: a afirmativa (b) é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa (c) com explicação da relação pressão-temperatura.
Conceito: para um gás ideal confinado num volume fixo, a equação de estado PV=nRT pode ser reorganizada para
P=\frac{nR}{V}\,T.
Com n e V constantes, P é diretamente proporcional a T. Isso significa que ao aumentar T a pressão aumenta na mesma razão; ao diminuir T a pressão diminui. Exemplo numérico: se T dobra mantendo V fixo, P dobra.
Portanto a afirmativa “A pressão no tanque é independente da temperatura, desde que o volume seja constante” contradiz a lei dos gases ideais e é incorreta. (Em situações reais com não idealidade extrema outras subtilezas aparecem, mas não mudam o fato de que temperatura afeta pressão.)
Conclusão: a afirmativa (c) é falsa.
Passo 6
Análise da afirmativa (d) com explicação do que é colisão elástica no contexto do modelo cinético.
Conceito: colisão elástica significa que a energia cinética total dos corpos envolvidos na colisão é conservada (no referencial do centro de massa, ou de forma equivalente nas colisões moleculares típicas sem reações químicas). No modelo cinético do gás ideal assume-se que as colisões entre moléculas e entre moléculas e as paredes são elásticas e instantâneas. Essa hipótese garante conservação de energia cinética média e permite derivar relações como PV=(1/3)Nm\overline{v^2} (onde N é número de moléculas, m massa de uma molécula e \overline{v^2} a média dos quadrados das velocidades).
Na prática, para hidrogênio em tanques a maiores energias/condições extremas pode haver excitações internas ou reações, mas no modelo cinético ideal padrão as colisões são tratadas como elásticas.
Conclusão: a afirmativa (d) é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmativa (e) com desenvolvimento do conceito de livre caminho médio.
Definição: o livre caminho médio \lambda é a distância média que uma molécula percorre entre colisões sucessivas. Uma expressão comum (para esferas rígidas de diâmetro eficaz d) é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} n},
onde n é a densidade numérica (número de moléculas por volume).
Relação com pressão: pela lei dos gases em nível microscópico, n e P estão relacionados por
n=\frac{P}{k_{B}T},
onde k_{B} é a constante de Boltzmann. Substituindo em \lambda obtemos
\lambda=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} P}.
Dessa forma, mantendo T constante e aumentando P, o denominador cresce e \lambda diminui: maior pressão → maior densidade → menores distâncias médias entre colisões.
Conclusão: a afirmativa (e) é verdadeira.
Resposta
a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira