17- A atmosfera de Vênus é composta prîncipalmente por \mathrm{CO}_{2}, com pressão superficial cerca de 90 vezes maior que a da Terra e temperatura média de 460^{\circ} \mathrm{C}. Sobre as moléculas de C O_{2} nessa atmosfera, analise as afirmações abaixo, marque como verdadeira ou falso e justifique sua resposta.
a. A energia cinética média das moléculas é extremamente alta devido à elevada temperatura absoluta.
b. A pressão elevada resulta da alta densidade numérica de moléculas e de sua elevada energia cinética média.
c. As moléculas de C O_{2} em Vênus têm velocidade média menor que as moléculas de \mathrm{N}_{2} na Terra, apesar da temperatura maior, devido à maior massa molar do \mathrm{CO}_{2}.
d. O livre caminho médio em Vênus é maior que na Terra, pois a alta temperatura afasta as moléculas.
e. As colisões entre moléculas de C O_{2} em Vênus são mais frequentes que na atmosfera terrestre ao nível do mar.

Passo 1

O enunciado nos dá estas informações e pede que analisemos cinco afirmações sobre as moléculas de \mathrm{CO}_{2} na atmosfera de Vênus:
  • Composição: atmosfera composta principalmente por \mathrm{CO}_{2}.
  • Pressão superficial: cerca de 90 vezes a da Terra ao nível do mar.
  • Temperatura média: 460^\circ\mathrm{C}.
Vou usar como referência a temperatura típica ao nível do mar na Terra de 15^\circ\mathrm{C} (ou seja T_{\rm Terra}=288,15\\ \mathrm{K}) e converter a temperatura de Vênus para Kelvin:
T_{\rm Vênus} = 460^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 733{,}15\\ \mathrm{K}.ê
As afirmações a analisar são:
a. A energia cinética média das moléculas é extremamente alta devido à elevada temperatura absoluta.
b. A pressão elevada resulta da alta densidade numérica de moléculas e de sua elevada energia cinética média.
c. As moléculas de \mathrm{CO}_{2} em Vênus têm velocidade média menor que as moléculas de \mathrm{N}_{2} na Terra, apesar da temperatura maior, devido à maior massa molar do \mathrm{CO}_{2}.
d. O livre caminho médio em Vênus é maior que na Terra, pois a alta temperatura afasta as moléculas.
e. As colisões entre moléculas de \mathrm{CO}_{2} em Vênus são mais frequentes que na atmosfera terrestre ao nível do mar.
Nos passos seguintes vou apresentar a teoria necessária, calcular/estimar quantidades relevantes (energia média, velocidades, densidade numérica, caminho livre médio e frequência de colisões) e usar isso para justificar cada afirmação.

Passo 2

Primeiro conceito importante: energia cinética média por molécula em um gás ideal monoatômico ou diatômico (no regime clássico) é proporcional à temperatura absoluta. A fórmula é
\langle E_{\rm cin} \rangle = \frac{3}{2} k_{\rm B} T,
onde k_{\rm B} é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta em Kelvin. Aqui:
  • \langle E_{\rm cin} \rangle é a energia cinética média de uma molécula (em joules),
  • k_{\rm B} tem valor \approx 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
  • T é temperatura em \mathrm{K}.
A consequência prática: a energia cinética média cresce linearmente com T e não depende da massa da partícula. Então, comparando Vênus e Terra,
\frac{\langle E_{\rm cin}\rangle_{\rm V}}{\langle E_{\rm cin}\rangle_{\rm T}}=\frac{T_{\rm Vênus}}{T_{\rm Terra}} =\frac{733{,}15}{288{,}15}\approx 2{,}55.ê
Isso significa que a energia cinética média de uma molécula na atmosfera de Vênus é cerca de 2{,}55 vezes a média ao nível do mar na Terra. Portanto a energia é significativamente maior — não “milhares de vezes”, mas claramente maior. Esta observação serve para avaliar a afirmação (a): a energia cinética média é maior por causa da maior temperatura.

Passo 3

Agora a relação pressão–densidade–temperatura: para um gás ideal vale a lei dos gases na forma
p = n k_{\rm B} T,
onde
  • p é a pressão,
  • n é a densidade numérica (número de moléculas por unidade de volume),
  • k_{\rm B} é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta.
Dessa fórmula vemos explicitamente que a pressão aumenta se n aumenta (mais moléculas por volume) ou se T aumenta (moléculas mais energéticas), ou ambos. Para comparar a densidade numérica entre Vênus e Terra sem calcular k_{\rm B}, use a razão
\frac{n_{\rm V}}{n_{\rm T}}=\frac{p_{\rm V}}{p_{\rm T}}\cdot\frac{T_{\rm T}}{T_{\rm V}}.
Como p_{\rm V}/p_{\rm T}\approx 90 e T_{\rm T}/T_{\rm V}\approx 288{,}15/733{,}15\approx 0{,}393, temos
\frac{n_{\rm V}}{n_{\rm T}}\approx 90\times 0{,}393\approx 35{,}4.
Ou seja, a densidade numérica em Vênus é aproximadamente 35 vezes maior que na Terra ao nível do mar. Isso mostra que a pressão muito elevada em Vênus resulta principalmente de uma densidade numérica muito maior; a temperatura também contribui, mas é o produto nT que determina p. Essa análise responde a (b): a alta pressão decorre tanto da alta densidade quanto da temperatura maior — a expressão p=nk_{\rm B}T justifica essa conclusão.

Passo 4

Agora vamos tratar de velocidades médias das moléculas. A velocidade quadrática média (velocidade RMS) de moléculas de massa molecular m (massa por molécula) num gás ideal é
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3k_{\rm B}T}{m}}.
Em termos molares, com massa molar M (em \mathrm{kg/mol}) e a constante dos gases R, a fórmula equivalente é
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}},
onde
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • M é a massa de 1 mol do gás em \mathrm{kg/mol},
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
Vamos comparar \mathrm{CO}_{2} em Vênus com \mathrm{N}_{2} na Terra usando essa fórmula.
Dados:
  • M_{\mathrm{CO}_2}=44{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • M_{\mathrm{N}_2}=28{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T_{\rm Vênus}=733{,}15\\ \mathrm{K}ê.
  • T_{\rm Terra}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcule v_{\rm rms} aproximado para cada caso.
Para \mathrm{CO}_{2} em Vênus:
v_{\rm rms,CO_2}=\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}314 \cdot 733{,}15}{44{,}0\times10^{-3}}} \approx \sqrt{415{,}9\times10^{3}}\\ \mathrm{m/s} \approx 645\\ \mathrm{m/s}.
Para \mathrm{N}_{2} na Terra:
v_{\rm rms,N_2}=\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}314 \cdot 288{,}15}{28{,}0\times10^{-3}}} \approx \sqrt{256{,}1\times10^{3}}\\ \mathrm{m/s} \approx 506\\ \mathrm{m/s}.
Comparação: v_{\rm rms,CO_2\\ (Vênus)}\approx 645\\ \mathrm{m/s}ê e v_{\rm rms,N_2\\ (Terra)}\approx 506\\ \mathrm{m/s}. Apesar da massa molar do \mathrm{CO}_{2} ser maior, a temperatura muito maior em Vênus mais que compensa esse efeito e produz velocidade média (RMS) maior para \mathrm{CO}_{2} em Vênus do que para \mathrm{N}_{2} na Terra. Portanto a afirmação (c) — que \mathrm{CO}_2 em Vênus tem velocidade média menor — é incorreta. Importante: a regra geral é que, para mesma T, partículas mais pesadas têm velocidades menores; mas se T é bastante maior, ela pode vencer o efeito da massa.

Passo 5

Agora consideremos o livre caminho médio \lambda e a frequência de colisões. Para um gás em condições raramente muito exóticas, o livre caminho médio entre colisões pode ser aproximado por
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\, n \sigma},
onde
  • n é a densidade numérica ( \mathrm{moléculas/m^3}é),
  • \sigma é a seção de choque efetiva para colisões entre moléculas (área efetiva),
  • o fator \sqrt{2} surge da geometria estatística das colisões.
Se tomarmos, como primeira aproximação, que \sigma para \mathrm{CO}_2 e \mathrm{N}_2 não difere por ordens de magnitude (moléculas diatômicas e triatômicas têm tamanhos comparáveis), então a razão dos caminhos médios é dominada pela razão das densidades:
\frac{\lambda_{\rm V}}{\lambda_{\rm T}}=\frac{n_{\rm T}}{n_{\rm V}}\approx \frac{1}{35{,}4}\approx 0{,}028.
Ou seja, o livre caminho médio em Vênus é cerca de 1/35 do livre caminho médio na Terra ao nível do mar — muito menor, não maior. A ideia de que “a alta temperatura afasta as moléculas” e aumenta o caminho médio é enganosa aqui; para fazer a mesma pressão, a temperatura mais alta tende a reduzir um pouco n, mas em Vênus a pressão é tão maior que o número de moléculas por volume fica muito maior, de modo que as moléculas estão muito mais próximas. Assim a afirmação (d) é falsa.

Passo 6

Frequência de colisões por molécula: a taxa de colisões (número de colisões por unidade de tempo que uma molécula sofre), em ordem de grandeza, é
Z \sim n \sigma \bar{v},
onde \bar{v} é uma velocidade característica (por exemplo v_{\rm rms} ou velocidade relativa média). Portanto a razão entre frequências em Vênus e na Terra é aproximadamente
\frac{Z_{\rm V}}{Z_{\rm T}}\approx \frac{n_{\rm V}}{n_{\rm T}}\cdot\frac{\bar{v}_{\rm V}}{\bar{v}_{\rm T}}.
Já vimos que n_{\rm V}/n_{\rm T}\approx 35{,}4 e \bar{v}_{\rm V}/\bar{v}_{\rm T}\approx 645/506\approx 1{,}275. Multiplicando:
\frac{Z_{\rm V}}{Z_{\rm T}}\approx 35{,}4\times 1{,}275\approx 45{,}1.
Portanto cada molécula em Vênus sofre colisões cerca de 45 vezes mais frequentemente do que uma molécula típica na atmosfera terrestre ao nível do mar, assumindo seções de choque parecidas. Isso mostra que a afirmação (e) é verdadeira: as colisões são muito mais frequentes em Vênus.

Passo 7

Resumo físico e interpretação intuitiva (sem repetir apenas “Verdadeiro/Falso”):
  • Energia média por molécula depende só de T; em Vênus ela é cerca de 2{,}55 vezes a da Terra. Então é bem maior (mas não “astronomicamente” maior).
  • A pressão dada por p=nk_{\rm B}T mostra que tanto n quanto T contribuem; em Vênus o n é muito maior (≈35×), dando a maior parcela do aumento de pressão.
  • A velocidade RMS depende de T/M. Mesmo com \mathrm{CO}_2 mais pesado, o T muito maior em Vênus leva a v_{\rm rms} maior do que para \mathrm{N}_2 na Terra.
  • O livre caminho médio depende inversamente de n; como n é muito maior em Vênus, \lambda é muito menor lá.
  • A frequência de colisões é \sim n\sigma v; como n e v são maiores em Vênus, as colisões por molécula são muitíssimo mais frequentes.

Resposta

a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa
e. Verdadeira

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