16 - Um homem de 85 kg desce de uma altura e
em relação ao solo segurando em uma corda que passa por uma roldana sem atrito e está presa na outra extremidade a um saco de areia de 65 kg . Com que velocidade o homem atinge o solo se ele partiu do repouso?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Massa do homem:
. - Massa do saco de areia:
. - O homem desce uma altura
em relação ao solo. - A corda passa por uma roldana sem atrito; presume-se corda inextensível e massa da roldana desprezível.
- Partida do repouso: velocidade inicial
. - Pergunta: com que velocidade o homem atinge o solo? Ou seja, determinar
ao descer a distância .
Passo 2
Escolha do método e ideia física principal.
- Vou usar conservação da energia mecânica (método curto e seguro quando não há atrito nem perdas): a variação da energia potencial gravitacional do sistema transforma-se em energia cinética do conjunto.
- Explicando a ideia: quando o homem desce, ele perde energia potencial
. O saco sobe a mesma distância e ganha energia potencial . A diferença entre a energia perdida pelo homem e a ganha pelo saco vai para a energia cinética dos dois corpos, que se movem com a mesma velocidade (corda inextensível). - Definições das variáveis usadas:
-
= aceleração da gravidade (vou usar ). -
= velocidade comum dos dois corpos quando o homem percorre .
-
Passo 3
Escrever a equação de conservação de energia e deduzir a fórmula para
.
- Energia inicial: ambos em repouso, portanto energia cinética inicial
. Considerando referência de potencial qualquer (diferença importa), a energia potencial total inicial é . Ao descer o homem uma distância e o saco subir , a mudança total de energia potencial do sistema é
Aqui o sinal negativo indica que o sistema perdeu energia potencial total se
(o que acontece).
- Essa perda de energia potencial vira energia cinética dos dois corpos:
- Igualando a perda de potencial à energia cinética adquirida:
- Isolando
:
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado passo a passo.
- Primeiro calcular a diferença e a soma das massas:
- Calcular o numerador dentro da raiz:
Calcule por etapas:
- Portanto
- Dividindo:
- Finalmente:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
.
Passo 5
Verificação alternativa (curta) usando dinâmica (Newtown) para reforçar a confiança — método que também costuma cair em prova.
- Equação de Newton para cada massa (sentido positivo para o movimento do homem para baixo):
- Para o homem:
. - Para o saco:
(sobe com aceleração para cima).
- Para o homem:
- Somando as duas equações cancela
:
- Substituindo números:
- Usando cinemática para partir do repouso e percorrer
: . Então
mesmo resultado — ótimo sinal de que o cálculo está consistente.
Passo 6
Comentário rápido e incentivo.
- Resultado intuitivo: como o homem é mais pesado que o saco, o sistema acelera e converte parte da energia potencial em velocidade; o valor obtido é moderado (cerca de
), então faz sentido físico. - Força: confia nesse raciocínio em prova — energia é muitas vezes a forma mais direta quando não há atrito nem perdas.