16 - Um homem de 85 kg desce de uma altura e 10,0 \mathrm{~m} em relação ao solo segurando em uma corda que passa por uma roldana sem atrito e está presa na outra extremidade a um saco de areia de 65 kg . Com que velocidade o homem atinge o solo se ele partiu do repouso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa do homem: m_h = 85\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do saco de areia: m_s = 65\\ \mathrm{kg}.
  • O homem desce uma altura h = 10{,}0\\ \mathrm{m} em relação ao solo.
  • A corda passa por uma roldana sem atrito; presume-se corda inextensível e massa da roldana desprezível.
  • Partida do repouso: velocidade inicial v_0 = 0.
  • Pergunta: com que velocidade o homem atinge o solo? Ou seja, determinar v ao descer a distância h.

Passo 2

Escolha do método e ideia física principal.
  • Vou usar conservação da energia mecânica (método curto e seguro quando não há atrito nem perdas): a variação da energia potencial gravitacional do sistema transforma-se em energia cinética do conjunto.
  • Explicando a ideia: quando o homem desce, ele perde energia potencial (m_h g h). O saco sobe a mesma distância e ganha energia potencial (m_s g h). A diferença entre a energia perdida pelo homem e a ganha pelo saco vai para a energia cinética dos dois corpos, que se movem com a mesma velocidade v (corda inextensível).
  • Definições das variáveis usadas:
    • g = aceleração da gravidade (vou usar g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
    • v = velocidade comum dos dois corpos quando o homem percorre h.

Passo 3

Escrever a equação de conservação de energia e deduzir a fórmula para v.
  • Energia inicial: ambos em repouso, portanto energia cinética inicial =0. Considerando referência de potencial qualquer (diferença importa), a energia potencial total inicial é U_i = m_h g H_h + m_s g H_s. Ao descer o homem uma distância h e o saco subir h, a mudança total de energia potencial do sistema é
\Delta U = -m_h g h + m_s g h = -(m_h - m_s) g h.
Aqui o sinal negativo indica que o sistema perdeu energia potencial total se m_h>m_s (o que acontece).
  • Essa perda de energia potencial vira energia cinética dos dois corpos:
\text{energia cinética total final} = \frac{1}{2} m_h v^2 + \frac{1}{2} m_s v^2 = \frac{1}{2}(m_h + m_s) v^2.é
  • Igualando a perda de potencial à energia cinética adquirida:
(m_h - m_s) g h = \frac{1}{2}(m_h + m_s) v^2.
  • Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2 (m_h - m_s) g h}{m_h + m_s}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado passo a passo.
  • Primeiro calcular a diferença e a soma das massas:
m_h - m_s = 85 - 65 = 20\\ \mathrm{kg}, \qquad m_h + m_s = 85 + 65 = 150\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular o numerador dentro da raiz:
2 (m_h - m_s) g h = 2 \cdot 20 \cdot 9{,}81 \cdot 10{,}0.
Calcule por etapas:
20 \cdot 9{,}81 = 196{,}2, \qquad 196{,}2 \cdot 10{,}0 = 1962, \qquad 2 \cdot 1962 = 3924.
  • Portanto
v = \sqrt{\frac{3924}{150}}.
  • Dividindo:
\frac{3924}{150} = 26{,}16.
  • Finalmente:
v = \sqrt{26{,}16} \approx 5{,}1147\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): v \approx 5{,}11\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação alternativa (curta) usando dinâmica (Newtown) para reforçar a confiança — método que também costuma cair em prova.
  • Equação de Newton para cada massa (sentido positivo para o movimento do homem para baixo):
    • Para o homem: m_h g - T = m_h a.
    • Para o saco: T - m_s g = m_s a (sobe com aceleração a para cima).
  • Somando as duas equações cancela T:
m_h g - m_s g = (m_h + m_s) a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{(m_h - m_s) g}{m_h + m_s}.
  • Substituindo números:
a = \frac{20 \cdot 9{,}81}{150} = \frac{196{,}2}{150} \approx 1{,}308\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Usando cinemática para partir do repouso e percorrer h: v^2 = v_0^2 + 2 a h = 2 a h. Então
v = \sqrt{2 \cdot 1{,}308 \cdot 10{,}0} = \sqrt{26{,}16} \approx 5{,}1147\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado — ótimo sinal de que o cálculo está consistente.

Passo 6

Comentário rápido e incentivo.
  • Resultado intuitivo: como o homem é mais pesado que o saco, o sistema acelera e converte parte da energia potencial em velocidade; o valor obtido é moderado (cerca de 5\\ \mathrm{m/s}), então faz sentido físico.
  • Força: confia nesse raciocínio em prova — energia é muitas vezes a forma mais direta quando não há atrito nem perdas.

Resposta

5{,}11\\ \mathrm{m/s}

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