17 - Um bloco de massa m_{1}=3,70 \mathrm{~kg} sobre um plano sem atrito inclinado, de ângulo \theta=30,0^{\circ}, está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, a um outro bloco de massa \mathrm{m}_{2}=2,30 \mathrm{~kg}. Quais são (a) o módulo de aceleração de cada bloco, (b) a orientação da aceleração do bloco pendurado e (c) a tensão da corda?

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois blocos ligados por uma corda e uma polia. As perguntas são:
  • (a) Qual o módulo da aceleração de cada bloco?
  • (b) Qual a orientação (sentido) da aceleração do bloco pendurado?
  • (c) Qual a tensão da corda?
Informações fornecidas (valores e condições):
  • Massa do bloco sobre o plano: m_{1}=3,70\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco pendurado: m_{2}=2,30\\ \mathrm{kg}.
  • Ângulo do plano inclinado: \theta=30,0^\circ.
  • Plano sem atrito.
  • Corda de massa desprezível e polia de massa e atrito desprezíveis.
    Estas grandezas foram obtidas do enunciado e da figura.

Passo 2

Vamos entender qualitativamente quem tende a descer. A força que puxa o bloco sobre o plano para baixo ao longo do plano é a componente do peso: m_{1}g\sin\theta. O peso do bloco pendurado é m_{2}g. Se m_{2}g>m_{1}g\sin\theta então o bloco pendurado tende a descer; se o contrário, o bloco sobre o plano tende a descer (isto determina o sentido da aceleração).
Calculemos as duas grandezas numéricas (usar g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}):
m_{1}g\sin\theta = 3,70\cdot 9,80\cdot\sin(30,0^\circ)
Como \sin(30,0^\circ)=0,5, temos
m_{1}g\sin\theta = 3,70\cdot 9,80\cdot 0,5 = 3,70\cdot 4,90 = 18,13\\ \mathrm{N}.
E
m_{2}g = 2,30\cdot 9,80 = 22,54\\ \mathrm{N}.
Comparando: 22,54\\ \mathrm{N} > 18,13\\ \mathrm{N}. Portanto o bloco pendurado tende a descer e o bloco sobre o plano tende a subir ao longo do plano.

Passo 3

Vamos montar as equações de Newton (segunda lei) para cada massa, escolhendo sinais consistentes:
  • Adotar como sentido positivo o movimento do sistema: para m_{2} tomar positivo para baixo; para m_{1} tomar positivo para cima ao longo do plano (esses sentidos são compatíveis porque quando m_{2} desce, m_{1} sobe).
  • Forças em m_{2} (vertical): peso m_{2}g para baixo e tensão T para cima.
  • Forças em m_{1} (ao longo do plano): tensão T para cima ao longo do plano e componente do peso m_{1}g\sin\theta para baixo ao longo do plano.
Aplicando \sum F = m a em cada corpo:
  • Para m_{2} (positivo para baixo):
m_{2}g - T = m_{2}a.
  • Para m_{1} (positivo para cima ao longo do plano):
T - m_{1}g\sin\theta = m_{1}a.

Passo 4

Eliminando T somando as duas equações:
(m_{2}g - T) + (T - m_{1}g\sin\theta) = m_{2}a + m_{1}a.
O termo T cancela, restando
m_{2}g - m_{1}g\sin\theta = (m_{1}+m_{2})a.
Isolando a:
a = \frac{m_{2}g - m_{1}g\sin\theta}{m_{1}+m_{2}} = \frac{(m_{2} - m_{1}\sin\theta)g}{m_{1}+m_{2}}.

Passo 5

Substituindo os números:
a = \frac{(2,30 - 3,70\cdot\sin 30,0^\circ)\cdot 9,80}{3,70 + 2,30}.
Como \sin 30,0^\circ = 0,5,
a = \frac{(2,30 - 3,70\cdot 0,5)\cdot 9,80}{6,00} = \frac{(2,30 - 1,85)\cdot 9,80}{6,00} = \frac{0,45\cdot 9,80}{6,00}.
Calcule:
0,45\cdot 9,80 = 4,41\\ \mathrm{N},
a = \frac{4,41}{6,00} = 0,735\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto o módulo da aceleração de cada bloco é 0,735\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Agora encontramos o sentido da aceleração do bloco pendurado. Na Passo 2 determinamos que m_{2}g>m_{1}g\sin\theta e, ao obter a>0 com a convenção adotada (positivo para baixo em m_{2}), isso confirma que o bloco pendurado realmente se desloca para baixo. Então a orientação: o bloco pendurado desce.

Passo 7

Cálculo da tensão T. Usamos a equação para m_{2}:
m_{2}g - T = m_{2}a \quad\Rightarrow\quad T = m_{2}(g - a).
Substituindo:
T = 2,30\cdot(9,80 - 0,735) = 2,30\cdot 9,065 = 20,8495\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma consistente (3 dígitos significativos):
T \approx 20,8\\ \mathrm{N}.
(como checagem, usar a equação de m_{1}: T = m_{1}(g\sin\theta + a) dá o mesmo valor numérico).

Resposta

(a) a=0,735\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) O bloco pendurado desce (movimento para baixo).
(c) T\approx 20,8\\ \mathrm{N}

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