11 - Um elevador que pesa 27,8 \mathrm{kN} move-se para cima. Qual é a tensão no cabo se a velocidade (a) está aumentando a uma taxa de 1,22 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e (b) está diminuindo a uma taxa de 1,22 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • O peso do elevador é 27{,}8\\ \mathrm{kN}. (Isto é a força peso W.)
  • O elevador move-se para cima.
  • (a) A velocidade está aumentando a uma taxa de 1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • (b) A velocidade está diminuindo a uma taxa de 1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede:
  • (a) A tensão no cabo quando a aceleração para cima é 1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • (b) A tensão no cabo quando a aceleração (direção para baixo) tem magnitude 1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}} (isto é, o elevador está subindo mas desacelerando).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e fáceis).
  • Newton: a segunda lei diz que a massa multiplicada pela aceleração é igual à soma das forças resultantes. Em símbolos,
\sum F = m a.
  • No caso do elevador, as forças verticais principais são a tensão do cabo T (para cima) e o peso W (para baixo). Tomando o sentido para cima como positivo, a equação fica
T - W = m a.
  • Reorganizando, a fórmula para a tensão é
T = W + m a.
Explicação das variáveis:
  • T é a tensão no cabo (unidade: N).
  • W é o peso do elevador, a força gravitacional (unidade: N). Foi dada como 27{,}8\\ \mathrm{kN}.
  • m é a massa do elevador (unidade: kg).
  • a é a aceleração (unidade: \mathrm{m/s^{2}}). Se a aceleração for para cima, a>0; se for para baixo, a<0.

Passo 3

Converter o peso dado em massa (passo muito importante para aplicar m a).
O enunciado deu o peso W:
W = 27{,}8\\ \mathrm{kN} = 27{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{N} = 27800\\ \mathrm{N}.
Usamos W = m g para encontrar a massa m. Tomamos a aceleração da gravidade como g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}. Assim
m = \frac{W}{g} = \frac{27800}{9{,}80}\\ \mathrm{kg}.
Calculemos:
m = 2836{,}73469387755\\ \mathrm{kg}\approx 2836{,}73\\ \mathrm{kg}.
(Para os cálculos seguintes podemos manter mais casas e arredondar o resultado final de forma apropriada.)

Passo 4

Escrever a expressão final que vamos usar para obter T. Repetindo:
T = W + m a.
Lembre que W=27800\\ \mathrm{N} e m acabamos de calcular. O sinal de a depende do caso:
  • (a) velocidade aumentando para cima: a=+1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • (b) velocidade diminuindo enquanto sobe: aceleração é para baixo, a=-1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Cálculo do caso (a) — aceleração para cima a=+1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Primeiro calcule m a:
m a = 2836{,}73469387755\times 1{,}22 = 3460{,}021476\\ \mathrm{N}.
Agora a tensão:
T = W + m a = 27800 + 3460{,}021476 = 31260{,}021476\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kN} e arredondar com três algarismos significativos (consistência com os dados):
T \approx 31{,}3\\ \mathrm{kN}.
Interpretação curta e intuitiva: quando o elevador acelera para cima, a corda precisa puxar a mais que o peso para produzir essa aceleração — por isso T>W.

Passo 6

Cálculo do caso (b) — velocidade diminuindo enquanto sobe, logo aceleração para baixo a=-1{,}22\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calcule m a:
m a = 2836{,}73469387755\times(-1{,}22) = -3460{,}021476\\ \mathrm{N}.
Tensão:
T = W + m a = 27800 - 3460{,}021476 = 24339{,}978524\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kN} e arredondar:
T \approx 24{,}3\\ \mathrm{kN}.
Interpretação curta: ao desacelerar subindo, a corda precisa exercer menos força que o peso para produzir a aceleração para baixo, por isso T<W.

Passo 7

Checagem rápida de unidades e plausibilidade:
  • Unidades consistentes: W e m a em N, soma dá N.
  • Os valores fazem sentido: no caso (a) T>W; no caso (b) T<W. Ambos próximos de W porque a aceleração é muito menor do que g.

Resposta

(a) 31{,}3\\ \mathrm{kN}
(b) 24{,}3\\ \mathrm{kN}

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