5.16 ป Uma linha de transmissão coaxial tem condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores (a<\rho<b) existe um meio condutivo cuja condutividade é \sigma(\rho)=\sigma_{0} / \rho, onde \sigma_{0} é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial V_{0}, e o condutor externo está aterrado. (a) Considerando uma corrente radial c.c. I por unidade de comprimento em z, determine o campo densidade de corrente radial \mathbf{J} em \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}. (b) Determine a intensidade de campo elétrico \mathbf{E} considerando I e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos. (c) Tomando uma integral de linha apropriada de \mathbf{E}, como a encontrada em (b), determine uma expressão que relaciona V_{0} \mathrm{e} I. (d) Determine uma expressão para a condutância da linha por unidade de comprimento, G.

Passo 1

O enunciado dá uma linha coaxial com condutor interno de raio a e condutor externo de raio b. Entre a<\rho<b há um meio condutivo cuja condutividade espacial é
\sigma(\rho)=\frac{\sigma_{0}}{\rho},
onde \sigma_{0} é constante. O condutor interno está a potencial V_{0} e o condutor externo está aterrado (potencial zero). Há uma corrente radial d.c. por unidade de comprimento em z, que o enunciado chama de I — isto significa que, para cada unidade de comprimento na direção z, a corrente total atravessando uma superfície cilíndrica coaxial de raio \rho é I (unidade: \mathrm{A/m} se tratarmos por unidade de comprimento).
As perguntas são:
(a) determinar a densidade de corrente radial \mathbf{J}(\rho) em \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2};
(b) determinar a intensidade do campo elétrico \mathbf{E}(\rho);
(c) tomar uma integral de linha apropriada de \mathbf{E} para obter uma relação entre V_{0} e I;
(d) obter a condutância da linha por unidade de comprimento G.

Passo 2

Entendendo geometricamente e usando simetria: por simetria cilíndrica (o problema não depende de \varphi nem de z), a corrente é puramente radial e a densidade de corrente só depende de \rho. Considere uma superfície cilíndrica coaxial de raio \rho e comprimento unitário 1 (porque I é dado por unidade de comprimento). A área dessa superfície por onde a corrente radial passa é
A(\rho)=\text{(circunferência)}\times\text{(comprimento)}=2\pi\rho\cdot 1=2\pi\rho.ê
A conservação da corrente (regime estacionário) diz que a corrente total através dessa superfície é I, independente de \rho. Isso nos dá a relação entre a densidade de corrente radial J_{\rho}(\rho) e I.

Passo 3

Usando a definição de densidade de corrente (corrente dividido por área) e a consideração do passo anterior:
J_{\rho}(\rho)=\frac{I}{A(\rho)}=\frac{I}{2\pi\rho}.
Como a corrente é radial, a densidade vetorial é
\mathbf{J}(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Aqui \hat{\boldsymbol{\rho}} é o versor radial (apontando do eixo para fora). Esta é a resposta de (a). Observação: I é a corrente que atravessa a superfície cilíndrica por unidade de comprimento em z, e a unidade de \mathbf{J} é \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Agora relacionamos \mathbf{J} com o campo elétrico \mathbf{E} usando a lei constitutiva local para um meio condutor ôhmico (Lei de Ohm local):
\mathbf{J}(\rho)=\sigma(\rho)\,\mathbf{E}(\rho).
Aqui \sigma(\rho) é a condutividade local (em \mathrm{S/m}) e \mathbf{E} é o campo elétrico (em V/m). Substituindo \sigma(\rho)=\dfrac{\sigma_{0}}{\rho} e \mathbf{J}(\rho)=\dfrac{I}{2\pi\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}}, temos
\frac{I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\frac{\sigma_{0}}{\rho}\,\mathbf{E}(\rho).
Cancelando \rho (desde \rho>0) obtemos uma expressão simples para \mathbf{E}.

Passo 5

Resolvendo para \mathbf{E}(\rho):
\mathbf{E}(\rho)=\frac{I}{2\pi\sigma_{0}}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Portanto o campo elétrico é radial, uniforme em \rho (não depende de \rho) e tem direção do condutor interno para o externo se I for positivo nessa orientação. Esta é a resposta de (b). Observação física: a variação \sigma\propto 1/\rho compensou a variação da área 2\pi\rho, produzindo um E constante — é uma coisa legal de observar.

Passo 6

Para relacionar V_{0} com I usamos a definição de diferença de potencial em termos da integral de linha do campo elétrico:
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Aqui o condutor externo tem V(b)=0 e o interno tem V(a)=V_{0}. Tomando um caminho radial (onde d\boldsymbol{\ell}=d\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}) e usando que \mathbf{E}(\rho) é constante radial obtida no passo anterior, temos
0-V_{0}=-\int_{a}^{b}E_{\rho}\,d\rho=-E_{\rho}(b-a).
Portanto
V_{0}=E_{\rho}(b-a).
Substituindo E_{\rho}=\dfrac{I}{2\pi\sigma_{0}},
V_{0}=\frac{I}{2\pi\sigma_{0}}(b-a).
Esta é a relação pedida em (c). Interpretação: o “resistência” efetiva por unidade de comprimento é proporcional ao comprimento radial b-a porque o campo é constante.

Passo 7

A condutância por unidade de comprimento G é definida como a razão entre corrente por unidade de comprimento I e a diferença de potencial por unidade de comprimento V_{0}:
G=\frac{I}{V_{0}}.
Usando a relação do passo anterior,
G=\frac{I}{\dfrac{I}{2\pi\sigma_{0}}(b-a)}=\frac{2\pi\sigma_{0}}{\,b-a\,}.
Esta é a condutância por unidade de comprimento (unidade \mathrm{S}/\mathrm{m} se \sigma_{0} tem unidades de Siemens).

Passo 8

Pequeno contraste para fixar a intuição: se em vez de \sigma(\rho)=\sigma_{0}/\rho tivéssemos \sigma= constante, o campo E dependente de \rho daria uma expressão com \ln(b/a) e o resultado clássico seria
G=\frac{2\pi\sigma}{\ln(b/a)}.
No nosso caso particular a dependência \sigma\propto 1/\rho simplifica e dá a dependência linear em b-a.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{J}(\rho)=\frac{I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
(b) \displaystyle \mathbf{E}(\rho)=\frac{I}{2\pi\sigma_{0}}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
(c) \displaystyle V_{0}=\frac{I\,(b-a)}{2\pi\sigma_{0}}.
(d) \displaystyle G=\frac{2\pi\sigma_{0}}{\,b-a\,}.

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