5.16 ป Uma linha de transmissão coaxial tem condutores interno e externo de raios
e
, respectivamente. Entre os condutores
existe um meio condutivo cuja condutividade é
, onde
é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial
, e o condutor externo está aterrado. (a) Considerando uma corrente radial c.c.
por unidade de comprimento em
, determine o campo densidade de corrente radial
em
. (b) Determine a intensidade de campo elétrico
considerando
e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos. (c) Tomando uma integral de linha apropriada de
, como a encontrada em (b), determine uma expressão que relaciona
. (d) Determine uma expressão para a condutância da linha por unidade de comprimento,
.
Passo 1
O enunciado dá uma linha coaxial com condutor interno de raio
e condutor externo de raio
. Entre
há um meio condutivo cuja condutividade espacial é
onde
é constante. O condutor interno está a potencial
e o condutor externo está aterrado (potencial zero). Há uma corrente radial d.c. por unidade de comprimento em
, que o enunciado chama de
— isto significa que, para cada unidade de comprimento na direção
, a corrente total atravessando uma superfície cilíndrica coaxial de raio
é
(unidade:
se tratarmos por unidade de comprimento).
As perguntas são:
(a) determinar a densidade de corrente radial em
;
(b) determinar a intensidade do campo elétrico ;
(c) tomar uma integral de linha apropriada de para obter uma relação entre
e
;
(d) obter a condutância da linha por unidade de comprimento .
(a) determinar a densidade de corrente radial
(b) determinar a intensidade do campo elétrico
(c) tomar uma integral de linha apropriada de
(d) obter a condutância da linha por unidade de comprimento
Passo 2
Entendendo geometricamente e usando simetria: por simetria cilíndrica (o problema não depende de
nem de
), a corrente é puramente radial e a densidade de corrente só depende de
. Considere uma superfície cilíndrica coaxial de raio
e comprimento unitário
(porque
é dado por unidade de comprimento). A área dessa superfície por onde a corrente radial passa é
A conservação da corrente (regime estacionário) diz que a corrente total através dessa superfície é
, independente de
. Isso nos dá a relação entre a densidade de corrente radial
e
.
Passo 3
Usando a definição de densidade de corrente (corrente dividido por área) e a consideração do passo anterior:
Como a corrente é radial, a densidade vetorial é
Aqui
é o versor radial (apontando do eixo para fora). Esta é a resposta de (a). Observação:
é a corrente que atravessa a superfície cilíndrica por unidade de comprimento em
, e a unidade de
é
.
Passo 4
Agora relacionamos
com o campo elétrico
usando a lei constitutiva local para um meio condutor ôhmico (Lei de Ohm local):
Aqui
é a condutividade local (em
) e
é o campo elétrico (em V/m). Substituindo
e
, temos
Cancelando
(desde
) obtemos uma expressão simples para
.
Passo 5
Resolvendo para
:
Portanto o campo elétrico é radial, uniforme em
(não depende de
) e tem direção do condutor interno para o externo se
for positivo nessa orientação. Esta é a resposta de (b). Observação física: a variação
compensou a variação da área
, produzindo um
constante — é uma coisa legal de observar.
Passo 6
Para relacionar
com
usamos a definição de diferença de potencial em termos da integral de linha do campo elétrico:
Aqui o condutor externo tem
e o interno tem
. Tomando um caminho radial (onde
) e usando que
é constante radial obtida no passo anterior, temos
Portanto
Substituindo
,
Esta é a relação pedida em (c). Interpretação: o “resistência” efetiva por unidade de comprimento é proporcional ao comprimento radial
porque o campo é constante.
Passo 7
A condutância por unidade de comprimento
é definida como a razão entre corrente por unidade de comprimento
e a diferença de potencial por unidade de comprimento
:
Usando a relação do passo anterior,
Esta é a condutância por unidade de comprimento (unidade
se
tem unidades de Siemens).
Passo 8
Pequeno contraste para fixar a intuição: se em vez de
tivéssemos
constante, o campo
dependente de
daria uma expressão com
e o resultado clássico seria
No nosso caso particular a dependência
simplifica e dá a dependência linear em
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)