Duas placas circulares e paralelas, de raio
, estão localizadas em
e
. A placa superior (
) está no potencial
, enquanto a placa inferior está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial,
, onde
é uma constante. (a) Encontre a intensidade de campo elétrico
independente de
, entre as placas. (b) Determine a densidade de corrente
entre as placas. (c) Determine a corrente total
entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo claramente para você não se perder):
- Duas placas circulares e paralelas de raio
estão em (placa inferior, aterrada) e (placa superior, potencial ). - O espaço entre as placas é preenchido por um condutor com condutividade que depende do raio:
, com constante e coord. radial em coordenadas cilíndricas. - Perguntas:
(a) Encontre o campo elétrico(assumido independente de ) entre as placas.
(b) Determine a densidade de correnteentre as placas.
(c) Determine a corrente totalentre as placas.
(d) Determine a resistência entre as placas.
Todas as informações relevantes foram listadas acima; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Por simetria e condições de contorno: as placas são equipotenciais (toda a superfície
tem
e toda a superfície
tem
), não há dependência angular
imposta pelo enunciado, e o enunciado pede especificamente a solução em que
é independente de
. Vou justificar por que isso é consistente: a lei local de Ohm é
e a conservação de carga em regime estacionário implica
Se
tiver apenas componente em
e for independente de
, então
depende de
mas não de
, logo
e não há componente radial, portanto
é satisfeita. Assim não há inconsistência e a hipótese
com
constante é admissível. Além disso, entre duas placas planas sem cargas volumétricas internas e com condições de contorno constantes, o potencial que depende somente de
é a solução natural.
Passo 3
Calcular o potencial
e o campo elétrico
. Como assumimos
só depende de
e não há cargas volumétricas variando com
no interior que alterem a equação (a hipótese de
independente de
leva a isso), a solução linear que satisfaz as condições de contorno é
porque
e
. O campo elétrico é dado por
. Como
depende só de
,
Aqui
é o versor na direção
. A magnitude do campo é
e sua direção é no sentido negativo de
(do potencial maior para o menor).
Passo 4
Aplicar a lei local de Ohm para obter a densidade de corrente. A forma diferencial de Ohm é
Substituindo
e
, obtemos
Isto dá a componente
da densidade de corrente:
O sinal negativo indica que a corrente está dirigindo-se no sentido
(do eletrodo em
para o de
). Esse é o resultado para a item (b).
Passo 5
Calcular a corrente total
atravessando uma seção horinzontal (por exemplo em qualquer plano
constante entre as placas). A corrente total é a integral da componente normal de
sobre a área da placa:
Usando coordenadas cilíndricas,
e
varia de
a
,
de
a
. Substituindo
,
Calcule as integrais:
e
. Assim
O sinal negativo indica direção
. Se quisermos o valor escalar (módulo) da corrente dirigindo-se do eletrodo superior para o inferior,
Passo 6
Calcular a resistência entre as placas. A resistência efetiva
entre as duas placas é a razão entre a diferença de potencial aplicada e a corrente total (escalar):
Substituindo o valor de
encontrado,
Observe que
não depende de
(como esperado) e tem comportamento distinto do caso de condutividade uniforme: para
const,
. Aqui, devido a
, obtemos
.
Resposta
(a)
(b)
(c) (módulo
).
(d)
(b)
(c)
(d)