Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z=0 e z=d. A placa superior ( z=d ) está no potencial V_{0}, enquanto a placa inferior está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial, \sigma(\rho)=\sigma_{0} \rho, onde \sigma_{0} é uma constante. (a) Encontre a intensidade de campo elétrico \mathbf{E} independente de \rho, entre as placas. (b) Determine a densidade de corrente \mathbf{J} entre as placas. (c) Determine a corrente total I entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo claramente para você não se perder):
  • Duas placas circulares e paralelas de raio a estão em z=0 (placa inferior, aterrada) e z=d (placa superior, potencial V_{0}).
  • O espaço entre as placas é preenchido por um condutor com condutividade que depende do raio: \sigma(\rho)=\sigma_{0}\,\rho, com \sigma_{0} constante e \rho coord. radial em coordenadas cilíndricas.
  • Perguntas:
    (a) Encontre o campo elétrico \mathbf{E} (assumido independente de \rho) entre as placas.
    (b) Determine a densidade de corrente \mathbf{J} entre as placas.
    (c) Determine a corrente total I entre as placas.
    (d) Determine a resistência entre as placas.
Todas as informações relevantes foram listadas acima; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Por simetria e condições de contorno: as placas são equipotenciais (toda a superfície z=0 tem 0 e toda a superfície z=d tem V_{0}), não há dependência angular \varphi imposta pelo enunciado, e o enunciado pede especificamente a solução em que \mathbf{E} é independente de \rho. Vou justificar por que isso é consistente: a lei local de Ohm é
\mathbf{J}(\rho,z) = \sigma(\rho)\,\mathbf{E}(\rho,z),
e a conservação de carga em regime estacionário implica
\nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Se \mathbf{E} tiver apenas componente em z e for independente de \rho, então \mathbf{J}_z=\sigma(\rho)E_z depende de \rho mas não de z, logo \partial_z J_z=0 e não há componente radial, portanto \nabla\cdot\mathbf{J}=0 é satisfeita. Assim não há inconsistência e a hipótese \mathbf{E}=E_z\hat{z} com E_z constante é admissível. Além disso, entre duas placas planas sem cargas volumétricas internas e com condições de contorno constantes, o potencial que depende somente de z é a solução natural.

Passo 3

Calcular o potencial V(z) e o campo elétrico \mathbf{E}. Como assumimos V só depende de z e não há cargas volumétricas variando com z no interior que alterem a equação (a hipótese de \mathbf{E} independente de \rho leva a isso), a solução linear que satisfaz as condições de contorno é
V(z)=\frac{V_{0}}{d}\,z,
porque V(0)=0 e V(d)=V_{0}. O campo elétrico é dado por \mathbf{E}=-\nabla V. Como V depende só de z,
\mathbf{E}=-\frac{dV}{dz}\,\hat{z}=-\frac{V_{0}}{d}\,\hat{z}.
Aqui \hat{z} é o versor na direção z. A magnitude do campo é \dfrac{V_{0}}{d} e sua direção é no sentido negativo de z (do potencial maior para o menor).

Passo 4

Aplicar a lei local de Ohm para obter a densidade de corrente. A forma diferencial de Ohm é
\mathbf{J}(\rho)=\sigma(\rho)\,\mathbf{E}.
Substituindo \sigma(\rho)=\sigma_{0}\rho e \mathbf{E}=-\dfrac{V_{0}}{d}\hat{z}, obtemos
\mathbf{J}(\rho) = \sigma_{0}\rho\left(-\frac{V_{0}}{d}\hat{z}\right) = -\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\,\rho\,\hat{z}.
Isto dá a componente z da densidade de corrente:
J_{z}(\rho) = -\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\,\rho.
O sinal negativo indica que a corrente está dirigindo-se no sentido -\hat{z} (do eletrodo em z=d para o de z=0). Esse é o resultado para a item (b).

Passo 5

Calcular a corrente total I atravessando uma seção horinzontal (por exemplo em qualquer plano z= constante entre as placas). A corrente total é a integral da componente normal de \mathbf{J} sobre a área da placa:
I=\iint_{A} \mathbf{J}\cdot\hat{z}\,dA = \iint_{A} J_{z}(\rho)\,dA.
Usando coordenadas cilíndricas, dA=\rho\,d\rho\,d\varphi e \varphi varia de 0 a 2\pi, \rho de 0 a a. Substituindo J_{z}(\rho)= -\dfrac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\,\rho,
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \left(-\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\,\rho\right)\rho\,d\rho\,d\varphi = -\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho.
Calcule as integrais: \int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi e \int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho = \dfrac{a^{3}}{3}. Assim
I = -\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\cdot 2\pi\cdot\frac{a^{3}}{3} = -\frac{2\pi\sigma_{0}a^{3}V_{0}}{3d}.
O sinal negativo indica direção -\hat{z}. Se quisermos o valor escalar (módulo) da corrente dirigindo-se do eletrodo superior para o inferior,
|I| = \frac{2\pi\sigma_{0}a^{3}V_{0}}{3d}.

Passo 6

Calcular a resistência entre as placas. A resistência efetiva R entre as duas placas é a razão entre a diferença de potencial aplicada e a corrente total (escalar):
R=\frac{V_{0}}{|I|}.
Substituindo o valor de |I| encontrado,
R=\frac{V_{0}}{\dfrac{2\pi\sigma_{0}a^{3}V_{0}}{3d}}=\frac{3d}{2\pi\sigma_{0}a^{3}}.
Observe que R não depende de V_{0} (como esperado) e tem comportamento distinto do caso de condutividade uniforme: para \sigma= const, R=\dfrac{d}{\sigma\pi a^{2}}. Aqui, devido a \sigma\propto\rho, obtemos R\propto 1/a^{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}=-\frac{V_{0}}{d}\,\hat{z}.
(b) \displaystyle \mathbf{J}(\rho)=-\frac{\sigma_{0}V_{0}}{d}\,\rho\,\hat{z}.
(c) \displaystyle I=-\frac{2\pi\sigma_{0}a^{3}V_{0}}{3d} (módulo \displaystyle |I|=\frac{2\pi\sigma_{0}a^{3}V_{0}}{3d}).
(d) \displaystyle R=\frac{3d}{2\pi\sigma_{0}a^{3}}.

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