5.13 Um tubo cilíndrico oco com uma seção reta retangular tem dimensões externas de 1,27 \mathrm{~cm} por 2,54 \mathrm{~cm} e uma espessura da parede de 1,27 \mathrm{~mm}. Considere que o material seja o latão, para o qual \sigma=1,5 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Uma corrente contínua de 200 A c.c. está circulando no tubo para baixo. (a) Qual é a queda de tensão presente ao longo de um comprimento de 1 m do tubo? (b) Calcule a queda de tensão se o interior do tubo estiver preenchido com um material condutor para o qual \sigma=1,5 \times 10^{5} \mathrm{~S} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá um tubo cilíndrico oco com seção reta retangular (ou seja, um retângulo oco) com as dimensões externas e a espessura das paredes, e pede a queda de tensão ao longo de 1\\ \mathrm{m} quando passa uma corrente contínua de 200\\ \mathrm{A}. Dados fornecidos (já vou colocar em unidades SI para facilitar):
\text{dimensões externas: } a=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m},\qquad b=2{,}54\\ \mathrm{cm}=0{,}0254\\ \mathrm{m}õ
\text{espessura da parede: } t=1{,}27\\ \mathrm{mm}=0{,}00127\\ \mathrm{m}
\text{condutividade do latão: } \sigma_{\text{latão}}=1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}ãã
\text{corrente: } I=200\\ \mathrm{A},\qquad\text{comprimento considerado: } L=1\\ \mathrm{m}
Perguntas:
(a) Qual a queda de tensão ao longo de 1\\ \mathrm{m} do tubo (vazio internamente)?
(b) Qual a queda de tensão se o interior do tubo estiver preenchido com material condutor com \sigma_{\text{preench}}=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{S/m}?

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rápida e amigável): quando um condutor uniforme e de seção transversal A transporta corrente I sob uma queda de potencial V ao longo de comprimento L, a resistência elétrica é dada por
R=\frac{L}{\sigma A},
onde \sigma é a condutividade do material (em \mathrm{S/m}). Explicando: a relação básica local é \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} (densidade de corrente \mathbf{J} proporcional ao campo elétrico \mathbf{E}). Para campo uniforme ao longo do fio, E=V/L e I=J A=\sigma E A=\sigma (V/L)A. Reorganizando obtemos V=I\,(L/(\sigma A)), ou seja R=L/(\sigma A) e V=IR. Aqui:
  • L é o comprimento do trecho onde medimos a queda (aqui 1\\ \mathrm{m});
  • \sigma é a condutividade elétrica do material (maior \sigma = melhor condutor);
  • A é a área da seção transversal disponível para a corrente.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo: primeiro calculamos a área da seção transversal do metal (tubo oco), depois a resistência e finalmente V=IR.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal do tubo oco (quando o interior é vazio). A área metálica é a área do retângulo externo menos a área do retângulo interno:
A_{\text{metal}}=a\cdot b - (a-2t)(b-2t).
Vamos calcular cada termo em metros:
a=0{,}0127\\ \mathrm{m},\qquad b=0{,}0254\\ \mathrm{m},\qquad t=0{,}00127\\ \mathrm{m}.
Dimensões internas:
a_{\text{int}}=a-2t=0{,}0127-2(0{,}00127)=0{,}01016\\ \mathrm{m},
b_{\text{int}}=b-2t=0{,}0254-2(0{,}00127)=0{,}02286\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora as áreas numéricas:
\text{área externa } a\cdot b = 0{,}0127\times0{,}0254 = 0{,}00032258\\ \mathrm{m^{2}},á
\text{área interna } a_{\text{int}}\cdot b_{\text{int}} = 0{,}01016\times0{,}02286 = 0{,}0002322496\\ \mathrm{m^{2}}.á
Logo a área do metal (condutora) é
A_{\text{metal}}=0{,}00032258-0{,}0002322496=0{,}0000903304\\ \mathrm{m^{2}}.
(ou seja A_{\text{metal}}\approx9{,}03304\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}). Guarde esse valor para o cálculo do item (a).

Passo 5

Item (a) — tubo com interior vazio (apenas latão conduz). Resistência do trecho de 1\\ \mathrm{m}:
R=\frac{L}{\sigma_{\text{latão}}\,A_{\text{metal}}} =\frac{1}{(1{,}5\times10^{7})\times(0{,}0000903304)}.ã
Calcule o produto no denominador:
\sigma_{\text{latão}}\,A_{\text{metal}}=1{,}5\times10^{7}\times0{,}0000903304=1354{,}956\\ \mathrm{S}.ã
Portanto
R=\frac{1}{1354{,}956}=7{,}379\times10^{-4}\\ \Omega\quad(\approx0{,}0007379\\ \Omega).
Queda de tensão V=IR:
V=200\times7{,}379\times10^{-4}=0{,}14758\\ \mathrm{V}\approx0{,}148\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Item (b) — interior preenchido com condutor ( \sigma_{\text{preench}}=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{S/m}). Agora a corrente pode circular tanto pelo metal quanto pelo preenchimento; em termos de condutância ao longo do comprimento L, as duas áreas se comportam como caminhos paralelos, então a condutância total por comprimento é
G_{\text{total}}=\sigma_{\text{latão}}A_{\text{metal}}+\sigma_{\text{preench}}A_{\text{int}}.ã
Já temos \sigma_{\text{latão}}A_{\text{metal}}=1354{,}956\\ \mathrm{S}ã. Calculamos a contribuição do preenchimento (usando a área interna obtida no Passo 4):
\sigma_{\text{preench}}A_{\text{int}}=1{,}5\times10^{5}\times0{,}0002322496=34{,}83744\\ \mathrm{S}.
Assim
G_{\text{total}}=1354{,}956+34{,}83744=1389{,}79344\\ \mathrm{S}.
A resistência equivalente ao longo de 1\\ \mathrm{m} é
R_{\text{eq}}=\frac{L}{G_{\text{total}}}=\frac{1}{1389{,}79344}=7{,}1969\times10^{-4}\\ \Omega\approx0{,}0007197\\ \Omega.
Queda de tensão V=IR:
V=200\times7{,}1969\times10^{-4}=0{,}14394\\ \mathrm{V}\approx0{,}144\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Pequeno comentário final motivador: a diferença entre os casos é pequena porque o latão tem condutividade muito maior que o preenchimento (dez vezes maior neste problema), então a maior parte da corrente continua no latão; preencher o interior ajuda um pouco, mas não faz diferença drástica. Você já tem todos os passos para repetir isso numa caneta na prova — converta unidades, calcule áreas, aplique R=L/(\sigma A), some condutâncias se há caminhos paralelos, e calcule V=IR. Força aí, você consegue!

Resposta

(a) 0,148\\ \mathrm{V}
(b) 0,144\\ \mathrm{V}

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