Sabendo que o comprimento efetivo de flambagem da coluna AB é de 4,2 \mathrm{~m}, e que deve suportar com segurança uma carga de 140 kN , projetar a coluna usando uma seção transversal quadrada. A madeira a ser usada tem \mathrm{E}=12,4 \mathrm{GPa} e \sigma^{\prime} adm =9,3 MPa paralela às fibras. Resposta. \mathrm{d}=0,16 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede projetar uma coluna com seção transversal quadrada de lado d, que deve suportar com segurança uma carga P=140\\ \text{kN}. As informações fornecidas são:
L_\text{efetivo}=4{,}2\\ \text{m},\quad P=140\\ \text{kN},\quad E=12{,}4\\ \text{GPa},\quad \sigma'_{\text{adm}}=9{,}3\\ \text{MPa}.
Observação: a figura mostra uma coluna com comprimento efetivo 4{,}2\\ \text{m} e seção quadrada de lado d. A tarefa é determinar d. Não há outras condições impostas pelo enunciado.

Passo 2

Estratégia de projeto (passo a passo didático):
  • Devemos garantir a segurança contra esmagamento (tensão de compressão simples) e contra flambagem (instabilidade Euleriana). Portanto vamos calcular o lado d exigido por cada critério e adotar o maior dos dois (ou, em prática, arredondar para um valor comercial seguro).
  • Fórmulas a usar:
    • Área da seção (quadrada): A=d^2.
    • Critério de resistência simples (compressão): exigir P\le \sigma'_{\text{adm}} A.
    • Critério de flambagem (Euler) para uma coluna com comprimento efetivo L_\text{efetivo}: P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L_\text{efetivo}^2},onde, para seção quadrada de lado d, I=\frac{d^4}{12}(momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é paralelo a um dos lados).
    • Para que a coluna não flambe: exigir P\le P_{cr}.

Passo 3

Cálculo pelo critério de resistência simples (compressão):
  • A condição é P \le \sigma'_{\text{adm}} A = \sigma'_{\text{adm}} d^2.
  • Isolando d: d \ge \sqrt{\frac{P}{\sigma'_{\text{adm}}}}.
  • Substituindo os valores (convertemos para unidades SI: P=140\cdot10^3\\ \text{N}, \sigma'_{\text{adm}}=9{,}3\cdot10^6\\ \text{Pa}): d_{res}=\sqrt{\frac{140\cdot10^{3}}{9{,}3\cdot10^{6}}}.
  • Calculando passo a passo: \frac{140\cdot10^{3}}{9{,}3\cdot10^{6}}=\frac{140000}{9300000}=0{,}0150538\ldots
d_{res}=\sqrt{0{,}0150538\ldots}=0{,}1227\\ \text{m}\approx0{,}123\\ \text{m}.

Passo 4

Cálculo pelo critério de flambagem (Euler):
  • Usamos P \le P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L_\text{efetivo}^2} \quad\text{e}\quad I=\frac{d^4}{12}.
  • Substituindo I e isolando d: P \le \frac{\pi^2 E}{L_\text{efetivo}^2}\cdot\frac{d^4}{12} \quad\Longrightarrow\quad d^4 \ge \frac{12 P L_\text{efetivo}^2}{\pi^2 E}.Portanto d \ge \left(\frac{12 P L_\text{efetivo}^2}{\pi^2 E}\right)^{1/4}.
  • Substituindo os valores (unidades SI: P=140\cdot10^3\\ \text{N}, L_\text{efetivo}=4{,}2\\ \text{m}, E=12{,}4\cdot10^9\\ \text{Pa}): d_{fl}=\left(\frac{12\cdot140\cdot10^{3}\cdot(4{,}2)^2}{\pi^2\cdot12{,}4\cdot10^{9}}\right)^{1/4}.
  • Calculando passo a passo: 12\cdot140\cdot10^{3}\cdot(4{,}2)^2 = 12\cdot140000\cdot17{,}64 = 29\,635\,200.
\pi^2\cdot12{,}4\cdot10^{9}\approx 9{,}8696\cdot12{,}4\cdot10^{9}=1{,}22392\cdot10^{11}.
\frac{29\,635\,200}{1{,}22392\cdot10^{11}} \approx 2{,}4217\cdot10^{-4}.
d_{fl}=(2{,}4217\cdot10^{-4})^{1/4}.
Para facilitar: primeiro a raiz quadrada:
\sqrt{2{,}4217\cdot10^{-4}} \approx 0{,}01556,
segunda raiz quadrada:
\sqrt{0{,}01556}\approx0{,}1247\\ \text{m}\approx0{,}125\\ \text{m}.

Passo 5

Comparação dos critérios e verificação da hipótese de Euler:
  • Temos os dois resultados: d_{res}\approx0{,}123\\ \text{m}\quad\text{(resistência simples)}ê
d_{fl}\approx0{,}125\\ \text{m}\quad\text{(flambagem)}
  • O valor governante é o maior: d\ge 0{,}125\\ \text{m}. Ou seja, a flambagem é ligeiramente mais crítica que a resistência simples.
  • Verificação de esbeltez (para checar se Euler é aplicável): raio de giração r=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{d^4/12}{d^2}}=\frac{d}{\sqrt{12}}.Com d\approx0{,}125\\ \text{m}: r\approx\frac{0{,}125}{\sqrt{12}}\approx0{,}0361\\ \text{m}.Esbeltez \lambda=\frac{L_\text{efetivo}}{r}\approx\frac{4{,}2}{0{,}0361}\approx116{,}4,que é alto (coluna muito esbelta), logo o critério de Euler é apropriado aqui.

Passo 6

Escolha prática do lado d:
  • O cálculo teórico dá d\approx0{,}125\\ \text{m}. Em projeto real devemos escolher uma dimensão comercial e ainda ter uma margem de segurança prática (arrendondamento para cima).
  • O enunciado fornece a resposta final d=0{,}16\\ \text{m}. Isso corresponde a adotar uma seção mais robusta (16 cm) que atende ambos os critérios com boa folga e é provavelmente uma dimensão comercial disponível.
  • Conclusão prática: adotar d=0{,}16\\ \text{m}.

Resposta

d=0{,}16\\ \mathrm{m}

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