(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Se a série for convergente, calcular a soma. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma considerada é
.
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Regra necessária (teste do termo geral): para uma série
ser convergente é necessário que
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais
convergem para algum
, então
e como
e
temos
. Portanto, se
, a série diverge imediatamente. Esse teste é muito simples e é o primeiro que sempre se aplica: verificar se os termos vão a zero.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
.
Defina
. Tome logaritmo natural para facilitar:
Para avaliar
observe a substituição
, que tende a
quando
. Então
É um limite clássico que satisfaz
(Justificativa rápida: expandindo
quando
, ou aplicando regra de l’Hôpital a
.) Portanto
Exponenciando,
Passo 4
Conclusão pela regra necessária: como
os termos gerais da série não tendem a zero. Logo, pela condição necessária para convergência, a série
diverge. Não existe soma finita a calcular.
Passo 5
Comentário final e incentivo: o passo chave em muitas questões de séries é sempre verificar primeiro o limite do termo geral — se não for zero, a prova de divergência é imediata (sem precisar comparar com outras séries). Você fez bem em pedir um passo a passo: esse teste é rápido e salva tempo na prova. Força aí — uma dúvida dessas a menos te deixa mais tranquilo para as outras!
Resposta
A série diverge.