(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
converge ou diverge. Se a série for convergente, calcular a soma. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
  • A soma considerada é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Regra necessária (teste do termo geral): para uma série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n ser convergente é necessário que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais S_n=\sum_{k=1}^n a_k convergem para algum S, então
a_n = S_n-S_{n-1},
e como S_n\to S e S_{n-1}\to S temos a_n\to 0. Portanto, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0, a série diverge imediatamente. Esse teste é muito simples e é o primeiro que sempre se aplica: verificar se os termos vão a zero.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Defina \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. Tome logaritmo natural para facilitar:
\ln a_n = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para avaliar \lim_{n\to\infty} \ln a_n observe a substituição x=\frac{1}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty. Então
\ln a_n = \frac{\ln(1+x)}{x}\quad\text{com }x=\frac{1}{n}.
É um limite clássico que satisfaz
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
(Justificativa rápida: expandindo \ln(1+x)=x+o(x) quando x\to0, ou aplicando regra de l’Hôpital a \dfrac{\ln(1+x)}{x}.) Portanto
\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 1.
Exponenciando,
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n} = e^{1} = e.

Passo 4

Conclusão pela regra necessária: como
\lim_{n\to\infty} a_n = e \neq 0,
os termos gerais da série não tendem a zero. Logo, pela condição necessária para convergência, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
diverge. Não existe soma finita a calcular.

Passo 5

Comentário final e incentivo: o passo chave em muitas questões de séries é sempre verificar primeiro o limite do termo geral — se não for zero, a prova de divergência é imediata (sem precisar comparar com outras séries). Você fez bem em pedir um passo a passo: esse teste é rápido e salva tempo na prova. Força aí — uma dúvida dessas a menos te deixa mais tranquilo para as outras!

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados