(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{n^{2}-1},
ou seja:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Se convergir, calcular a soma numérica da série.
Informações dadas: o termo geral é a_n=\dfrac{3}{n^{2}-1} e a soma começa em n=2.

Passo 2

Vamos estudar a forma do termo para ver se a série tem alguma estrutura útil. Note que n^{2}-1 fatoriza como (n-1)(n+1). Uma técnica muito útil para somas que têm denominares fatorados é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever cada termo da forma
\frac{3}{n^{2}-1}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1},
onde A e B são constantes a determinar. Isso transforma cada termo em uma diferença de termos simples, o que pode levar a cancelamentos quando somamos muitos termos (efeito telescópico). Explico como encontrar A e B no próximo passo.

Passo 3

Determinar A e B. Partindo de
\frac{3}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1},
multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1) obtemos a identidade (válida para todo n\neq\pm1)
3 = A(n+1)+B(n-1).
Isto é uma igualdade entre polinômios em n. Podemos achar A e B escolhendo valores de n que simplifiquem:
  • Tomando n=1 (válido na identidade algébrica, embora o termo original não seja definido em n=1): 3 = A(1+1) + B(0), ou seja 3 = 2A; daí
A=\frac{3}{2}.
  • Tomando n=-1: 3 = A(0)+B(-1-1)= -2B, logo
B=-\frac{3}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{3}{n^{2}-1}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).

Passo 4

Agora escrevemos a soma com o termo na forma telescópica. O n-ésimo termo é
a_n=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Somando de n=2 até n=N (soma parcial S_N):
S_N=\sum_{n=2}^{N} a_n = \frac{3}{2}\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Vamos escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
  • Para n=2: \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\right).
  • Para n=3: \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right).
  • Para n=4: \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right).
    … e assim por diante até n=N: \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{N-1}-\dfrac{1}{N+1}\right).
Observe que há muitos termos que se cancelam: o \dfrac{1}{3} negativo em n=2 cancela com o \dfrac{1}{3} positivo em n=4, o \dfrac{1}{4} negativo em n=3 cancela com o \dfrac{1}{4} positivo em n=5, e assim sucessivamente. Vamos escrever o resultado do cancelamento de forma organizada.

Passo 5

Efeito telescópico: agrupando os termos positivos e negativos na soma parcial,
S_N=\frac{3}{2}\Big( (1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\cdots+\tfrac{1}{N-1}) - (\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\cdots+\tfrac{1}{N+1})\Big).
Os termos de \tfrac{1}{3} até \tfrac{1}{N-1} aparecem em ambas as somas e se cancelam, sobrando apenas os termos não cancelados:
S_N=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right).
Podemos simplificar um pouco:
S_N=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right) = \frac{9}{4} - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Como \dfrac{1}{N}\to 0 e \dfrac{1}{N+1}\to 0, a segunda parcela tende a zero. Logo
\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{9}{4}.
Isso mostra que a série converge e que sua soma é \dfrac{9}{4}.
Comentário adicional (intuição sobre convergência): pode-se também observar que para grandes n vale \dfrac{3}{n^{2}-1}\sim \dfrac{3}{n^{2}}, e como a série \sum 1/n^{2} (série p com p=2>1) converge, pelo teste da comparação (ou comparação-limite) a nossa série também converge. Mas a decomposição telescópica foi suficiente e ainda permitiu calcular a soma exata.
Força aí — já era! Você conseguiu ver que a série telescopa e chegar na soma exata.

Resposta

Converge; \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{3}{n^{2}-1}=\frac{9}{4}

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