(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
ou seja:
- Determinar se a série converge ou diverge.
- Se convergir, calcular a soma numérica da série.
Informações dadas: o termo geral é
e a soma começa em
.
Passo 2
Vamos estudar a forma do termo para ver se a série tem alguma estrutura útil. Note que
fatoriza como
. Uma técnica muito útil para somas que têm denominares fatorados é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever cada termo da forma
onde
e
são constantes a determinar. Isso transforma cada termo em uma diferença de termos simples, o que pode levar a cancelamentos quando somamos muitos termos (efeito telescópico). Explico como encontrar
e
no próximo passo.
Passo 3
Determinar
e
. Partindo de
multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (válida para todo
)
Isto é uma igualdade entre polinômios em
. Podemos achar
e
escolhendo valores de
que simplifiquem:
- Tomando
(válido na identidade algébrica, embora o termo original não seja definido em ): , ou seja ; daí
- Tomando
: , logo
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora escrevemos a soma com o termo na forma telescópica. O
-ésimo termo é
Somando de
até
(soma parcial
):
Vamos escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
… e assim por diante até: .
Observe que há muitos termos que se cancelam: o
negativo em
cancela com o
positivo em
, o
negativo em
cancela com o
positivo em
, e assim sucessivamente. Vamos escrever o resultado do cancelamento de forma organizada.
Passo 5
Efeito telescópico: agrupando os termos positivos e negativos na soma parcial,
Os termos de
até
aparecem em ambas as somas e se cancelam, sobrando apenas os termos não cancelados:
Podemos simplificar um pouco:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Como
e
, a segunda parcela tende a zero. Logo
Isso mostra que a série converge e que sua soma é
.
Comentário adicional (intuição sobre convergência): pode-se também observar que para grandes
vale
, e como a série
(série
com
) converge, pelo teste da comparação (ou comparação-limite) a nossa série também converge. Mas a decomposição telescópica foi suficiente e ainda permitiu calcular a soma exata.
Força aí — já era! Você conseguiu ver que a série telescopa e chegar na soma exata.
Resposta
Converge;