(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}
O que pede:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Se convergir, calcular a sua soma.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral da série é \dfrac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}.
  • A série começa em n=1.

Passo 2

Verificação do padrão (calcular os primeiros termos para intuir a forma):
a_1=\frac{(-2)^{0}}{3^{1}}=\frac{1}{3},\qquad a_2=\frac{(-2)^{1}}{3^{2}}=-\frac{2}{9},\qquad a_3=\frac{(-2)^{2}}{3^{3}}=\frac{4}{27},\\ \ldots
Observa-se que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. Vamos calcular essa razão comum.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos para identificar a série geométrica:
r=\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(-2)^{n}}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}} =\frac{(-2)^{n}}{(-2)^{n-1}}\cdot\frac{3^{n}}{3^{n+1}} =\left(-2\right)\cdot\frac{1}{3} =\,-\frac{2}{3}.
Portanto a série é uma série geométrica com primeiro termo
a_1=\frac{1}{3}
e razão
r=-\frac{2}{3}.

Passo 4

Relembrando a teoria (fórmula e condição de convergência para série geométrica):
  • Uma série geométrica de forma
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma vale
S=\frac{a_1}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge porque os termos não tendem a zero suficientemente rápido (na verdade r^{n} não tende a zero).
Explicação do porquê: a soma parcial até N é
S_N=a_1(1+r+\cdots+r^{N-1})=a_1\frac{1-r^{N}}{1-r},
e se |r|<1 então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0, levando a S=\dfrac{a_1}{1-r}.

Passo 5

Aplicar a condição ao nosso caso:
r=-\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad |r|=\frac{2}{3}<1,
logo a série converge. Além disso \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 porque |r|<1.

Passo 6

Calcular a soma usando a fórmula:
a_1=\frac{1}{3},\qquad r=-\frac{2}{3}.
Logo
S=\frac{a_1}{1-r} =\frac{\dfrac{1}{3}}{1-(-\tfrac{2}{3})} =\frac{\dfrac{1}{3}}{1+\tfrac{2}{3}} =\frac{\dfrac{1}{3}}{\tfrac{5}{3}} =\frac{1}{5}.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{5}.

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