(16 pontos) Quais das séries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua uma série for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série
O que pede:
- Determinar se a série converge ou diverge.
- Se convergir, calcular a sua soma.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral da série é
. - A série começa em
.
Passo 2
Verificação do padrão (calcular os primeiros termos para intuir a forma):
Observa-se que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. Vamos calcular essa razão comum.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos para identificar a série geométrica:
Portanto a série é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
Passo 4
Relembrando a teoria (fórmula e condição de convergência para série geométrica):
- Uma série geométrica de forma
converge se, e somente se,
. Nesse caso a soma vale
- Se
, a série diverge porque os termos não tendem a zero suficientemente rápido (na verdade não tende a zero).
Explicação do porquê: a soma parcial até
é
e se
então
, levando a
.
Passo 5
Aplicar a condição ao nosso caso:
logo a série converge. Além disso
porque
.
Passo 6
Calcular a soma usando a fórmula:
Logo
Resposta
A série converge e
.