16 Quanta energia eletromagnética por metro cúbico está contida na luz solar, se a intensidade da luz solar na superficie da Terra sob um céu razoavelmente claro é 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quanta energia eletromagnética por metro cúbico está contida na luz solar, se a intensidade da luz solar na superfície da Terra sob um céu razoavelmente claro é 1000\\ \mathrm{W/m^{2}}?”
Informações dadas:
  • Intensidade (irradiância) da luz solar: I = 1000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
O que se pede:
  • A densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume), que vou chamar de u, em unidades de \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 2

Conceito físico básico que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Para uma onda eletromagnética plana viajando no vácuo (ou aproximadamente no ar), a intensidade média I — isto é, a potência por unidade de área transportada pela onda — está relacionada à densidade de energia u e à velocidade de propagação c pela relação
I = u\,c.
Vou explicar de onde vem isso, sem pular etapas.

Passo 3

Derivando a relação I = u\,c de forma simples e intuitiva:
  • A densidade de energia elétrica e magnética em um ponto é
u = \frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2} + \frac{1}{2\mu_{0}}B^{2},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, E é a intensidade do campo elétrico e B é a intensidade do campo magnético. (Essas são fórmulas padrão de energia por volume para campos elétricos e magnéticos.)
  • Numa onda eletromagnética plana no vácuo há a relação E = cB (ou B = E/c).
  • Substituindo B = E/c em u e somando as duas partes dá, após simplificação usando c^{2} = 1/(\varepsilon_{0}\mu_{0}), que a energia total por volume fica proporcional a E^{2} e que a magnitude média do vetor de Poynting (a intensidade média) é
I = \langle S\rangle = u\,c.
  • Em palavras: a energia por volume u desloca-se pela onda à velocidade c, então a potência por área (energia por tempo por área) é u vezes c.

Passo 4

Aplicando a relação ao problema:
  • Isolando u da relação I = u\,c temos
u = \frac{I}{c}.
  • Vamos colocar os números: a intensidade é I = 1000\\ \mathrm{W/m^{2}} (peguei esse valor do enunciado) e a velocidade da luz no vácuo vale aproximadamente c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Substituindo:
u = \frac{1000\\ \mathrm{W/m^{2}}}{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo (sem calculadora complexa — é só dividir potências de 10):
  • Escrevendo em notação científica:
1000 = 1{,}00\times10^{3}.
  • Então
u = \frac{1{,}00\times10^{3}}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{J/m^{3}} = \frac{1{,}00}{3{,}00}\times10^{3-8}\\ \mathrm{J/m^{3}} = 0{,}333\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
  • Reescrevendo com potência padrão:
u \approx 3{,}33\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Observação interpretativa rápida: esse número é muito pequeno — cerca de 3{,}33\\ \mu\mathrm{J} (microjoules) por metro cúbico.

Passo 6

Dica para a prova (resumindo o raciocínio de forma prática):
  • Sempre que tiver intensidade de uma onda eletromagnética e quiser a energia por volume, use u = I/c.
  • Lembre de usar c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Faça a divisão em notação científica para evitar erros com muitos zeros. Respira fundo — é uma conta curta e direta!

Resposta

\;u \approx 3{,}33\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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