onde \lambda é o comprimento de onda da fonte e v é a velocidade da aproximação relativa entre a fonte e o observador. (b) Com que rapidez um motorista deveria estar se deslocando para fazer uma luz vermelha parecer verde? Considere 650 nm como sendo um comprimento de onda típico para a luz vermelha e 550 nm como típico para a verde.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá estes dados:
(a) Mostrar que o deslocamento Doppler \Delta \lambda no comprimento de onda da luz satisfaz
onde \lambda é o comprimento de onda emitido pela fonte e v é a velocidade de aproximação relativa entre fonte e observador (velocidade positiva quando há aproximação).
(b) Determinar a rapidez necessária para que uma luz vermelha de comprimento de onda \lambda_{\text{vermelha}}=650\\ \text{nm} pareça verde de comprimento de onda \lambda_{\text{verde}}=550\\ \text{nm}.
Velocidade da luz: c (usar c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} quando necessário).
A seguir vou demonstrar a fórmula pedida em (a) passo a passo, explicando cada conceito, e depois calcular a velocidade pedida em (b).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
Frequência e comprimento de onda da luz: a frequência \nu e o comprimento de onda \lambda estão relacionados por
\nu=\frac{c}{\lambda},
ou, em termos de frequência angular \omega,
\omega=2\pi\nu,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},
e para a luz no vácuo vale
k=\frac{\omega}{c}.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), k é o número de onda (rad/m), c é a velocidade da luz (m/s). Estas relações significam que comprimentos de onda menores correspondem a frequências maiores.
Transformação relativística de frequência: em relatividade especial a combinação (\omega/c,\; \mathbf{k}) forma um quadrivetor (quatro-vetor) de onda; sob um boost (mudança de referência com velocidade relativa v ao longo do eixo x) a componente temporal transforma como
\omega=\gamma\bigl(\omega'+v k'_x\bigr),
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} é o fator de Lorentz, primado (’) indica grandezas no referencial da fonte (onde a fonte está em repouso) e não primado no referencial do observador. Vou explicar e usar essa transformação passo a passo.
Passo 3
Escolha de referenciais e sinais (de modo claro):
Trabalhamos no referencial da fonte (denotado por primas) e no referencial do observador (sem primas). Na figura mental: a fonte emite luz na direção do observador; a velocidade relativa de aproximação é v>0.
No referencial da fonte a luz se propaga na direção positiva x', então o número de onda tem componente k'_x=\omega'/c positiva. Isto porque para luz \omega'=c k'.
Aplicando a transformação de frequência mencionada:
\omega=\gamma\bigl(\omega'+v k'_x\bigr).
Substituindo k'_x=\dfrac{\omega'}{c} obtemos
\omega=\gamma\omega'\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr).
Passo 4
Simplificar a expressão com \gamma e obter a razão de frequências:
Lembrando que \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}, calculamos
A relação entre comprimento de onda e frequência (no mesmo referencial) é \lambda=\dfrac{c}{\nu}. Como \omega=2\pi\nu, a razão das frequências é igual à razão das \omega, e a razão das frequências se inverte para dar a razão dos comprimentos de onda:
Para termos uma noção: isto equivale a cerca de 4{,}97\times10^{7}\\ \text{m/s}\approx 49{,}700\\ \text{km/s}, uma velocidade absurdamente grande para um motorista comum (impraticável).