12 (a) Mostre que o deslocamento Doppler \Delta \lambda no comprimento de onda da luz é descrito pela expressão
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}+1=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}
onde \lambda é o comprimento de onda da fonte e v é a velocidade da aproximação relativa entre a fonte e o observador. (b) Com que rapidez um motorista deveria estar se deslocando para fazer uma luz vermelha parecer verde? Considere 650 nm como sendo um comprimento de onda típico para a luz vermelha e 550 nm como típico para a verde.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá estes dados:
  • (a) Mostrar que o deslocamento Doppler \Delta \lambda no comprimento de onda da luz satisfaz
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}+1=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}},
onde \lambda é o comprimento de onda emitido pela fonte e v é a velocidade de aproximação relativa entre fonte e observador (velocidade positiva quando há aproximação).
  • (b) Determinar a rapidez necessária para que uma luz vermelha de comprimento de onda \lambda_{\text{vermelha}}=650\\ \text{nm} pareça verde de comprimento de onda \lambda_{\text{verde}}=550\\ \text{nm}.
Informações fornecidas explicitamente:
  • \lambda_{\text{emitida}}=\lambda=650\\ \text{nm} (vermelha).
  • \lambda_{\text{observada}}=550\\ \text{nm} (verde).
  • Velocidade da luz: c (usar c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} quando necessário).
A seguir vou demonstrar a fórmula pedida em (a) passo a passo, explicando cada conceito, e depois calcular a velocidade pedida em (b).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Frequência e comprimento de onda da luz: a frequência \nu e o comprimento de onda \lambda estão relacionados por
\nu=\frac{c}{\lambda},
ou, em termos de frequência angular \omega,
\omega=2\pi\nu,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},
e para a luz no vácuo vale
k=\frac{\omega}{c}.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), k é o número de onda (rad/m), c é a velocidade da luz (m/s). Estas relações significam que comprimentos de onda menores correspondem a frequências maiores.
  • Transformação relativística de frequência: em relatividade especial a combinação (\omega/c,\; \mathbf{k}) forma um quadrivetor (quatro-vetor) de onda; sob um boost (mudança de referência com velocidade relativa v ao longo do eixo x) a componente temporal transforma como
\omega=\gamma\bigl(\omega'+v k'_x\bigr),
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} é o fator de Lorentz, primado (’) indica grandezas no referencial da fonte (onde a fonte está em repouso) e não primado no referencial do observador. Vou explicar e usar essa transformação passo a passo.

Passo 3

Escolha de referenciais e sinais (de modo claro):
  • Trabalhamos no referencial da fonte (denotado por primas) e no referencial do observador (sem primas). Na figura mental: a fonte emite luz na direção do observador; a velocidade relativa de aproximação é v>0.
  • No referencial da fonte a luz se propaga na direção positiva x', então o número de onda tem componente k'_x=\omega'/c positiva. Isto porque para luz \omega'=c k'.
  • Aplicando a transformação de frequência mencionada:
\omega=\gamma\bigl(\omega'+v k'_x\bigr).
Substituindo k'_x=\dfrac{\omega'}{c} obtemos
\omega=\gamma\omega'\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr).

Passo 4

Simplificar a expressão com \gamma e obter a razão de frequências:
  • Lembrando que \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}, calculamos
\frac{\omega}{\omega'}=\gamma\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr) =\frac{1+\dfrac{v}{c}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Podemos manipular essa expressão para escrevê-la como raiz simples:
\frac{\omega}{\omega'}=\sqrt{\frac{\bigl(1+\dfrac{v}{c}\bigr)^{2}}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} =\sqrt{\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}}}.
Portanto a razão das frequências é
\frac{\omega}{\omega'}=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}.

Passo 5

Passar de frequência para comprimento de onda:
  • A relação entre comprimento de onda e frequência (no mesmo referencial) é \lambda=\dfrac{c}{\nu}. Como \omega=2\pi\nu, a razão das frequências é igual à razão das \omega, e a razão das frequências se inverte para dar a razão dos comprimentos de onda:
\frac{\lambda_{\text{observada}}}{\lambda_{\text{emitida}}}=\frac{\nu_{\text{emitida}}}{\nu_{\text{observada}}}=\frac{\omega'}{\omega}.
Usando a relação encontrada no passo anterior:
\frac{\lambda_{\text{observada}}}{\lambda_{\text{emitida}}} =\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}.

Passo 6

Expressar em termos de \Delta\lambda:
  • Definindo o deslocamento \Delta\lambda=\lambda_{\text{observada}}-\lambda_{\text{emitida}}, temos
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_{\text{emitida}}}+1=\frac{\lambda_{\text{observada}}}{\lambda_{\text{emitida}}}.
Substituindo a razão obtida no passo anterior chega-se exatamente à fórmula pedida:
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}+1=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}
ou, multiplicando numerador e denominador por c,
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}+1=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}.
Isto completa a demonstração de (a).

Passo 7

Resolver (b): encontrar v tal que \lambda_{\text{observada}}=550\\ \text{nm} quando \lambda_{\text{emitida}}=650\\ \text{nm}.
  • Defina a razão
r=\frac{\lambda_{\text{observada}}}{\lambda_{\text{emitida}}}=\frac{550}{650}=\frac{11}{13}.
Pela fórmula obtida:
r=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}.
Elevar ao quadrado e resolver para v:
r^{2}=\frac{c-v}{c+v} \quad\Rightarrow\quad r^{2}(c+v)=c-v.
Rearranjando os termos que contêm v:
r^{2}c + r^{2}v = c - v \quad\Rightarrow\quad v\,(r^{2}+1)=c\,(1-r^{2}).
Assim
v=c\;\frac{1-r^{2}}{1+r^{2}}.

Passo 8

Substituir r=\dfrac{11}{13} e calcular numericamente:
  • Primeiro calcule r^{2}=\dfrac{121}{169}. Então
v=c\;\frac{1-\dfrac{121}{169}}{1+\dfrac{121}{169}} = c\;\frac{\dfrac{48}{169}}{\dfrac{290}{169}} = c\;\frac{48}{290} = c\;\frac{24}{145}.
  • Em fração de c isso é
v\approx 0{,}165517\;c\approx 0{,}1655\;c.
  • Em unidades de velocidade usando c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}:
v\approx 0{,}165517\times 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} \approx 4{,}97\times10^{7}\\ \text{m/s}.
Para termos uma noção: isto equivale a cerca de 4{,}97\times10^{7}\\ \text{m/s}\approx 49{,}700\\ \text{km/s}, uma velocidade absurdamente grande para um motorista comum (impraticável).

Resposta

\displaystyle \frac{\Delta \lambda}{\lambda}+1=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}
\displaystyle v=c\,\frac{24}{145}\approx 0{,}1655\,c\approx 4{,}97\times10^{7}\\ \text{m/s}

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