16 De quantas maneiras 3 americanos, 4 franceses e 3 belgas podem sentar em fila, de modo que os de mesma nacionalidade sentem juntos?

Passo 1

O enunciado pede de quantas maneiras 3 americanos, 4 franceses e 3 belgas podem sentar em fila, de modo que todos de mesma nacionalidade fiquem juntos. O conteúdo aqui é permutação com agrupamento em blocos e aplicação da regra do produto.

Passo 2

Agrupamos cada nacionalidade em um “superbloco”:
– Bloco A contendo os 3 americanos
– Bloco F contendo os 4 franceses
– Bloco B contendo os 3 belgas
Agora temos 3 blocos para arranjar em fila, o que pode ser feito de
3! = 6
maneiras.

Passo 3

Dentro de cada bloco contamos as permutações internas:
– No bloco dos americanos:
3! = 6
– No bloco dos franceses:
4! = 24
– No bloco dos belgas:
3! = 6

Passo 4

Pela regra do produto, multiplicamos a permutação dos blocos pela permutação dentro de cada bloco:
3! \times 3! \times 4! \times 3! = 6 \times 6 \times 24 \times 6 = 5184

Resposta

5184

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