16- Seja f \rightarrow \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação matricial definida por
f\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & 3 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]
Encontre x, y, z tal que f\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ 5 \\\\ -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado define a transformação linear f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada pela matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix},
e pede todos os vetores \bigl[x,y,z\bigr]^T tais que
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 5\\\ -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares; vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo o sistema associado:
\begin{cases} 4x + y + 3z = 4,\\\\ 2x - y + 3z = 5,\\\\ 2x + 2y + 0z = -1. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação isolamos y:
2x + 2y = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-1 - 2x}{2} = -\frac{1}{2} - x.

Passo 4

Substituímos y = -\tfrac{1}{2} - x nas duas primeiras equações:
  • Na primeira:
4x + \bigl(-\tfrac{1}{2} - x\bigr) + 3z = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3x - \tfrac{1}{2} + 3z = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 3z = 4{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x + z = \tfrac{3}{2}.
  • Na segunda:
2x - \bigl(-\tfrac{1}{2} - x\bigr) + 3z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x + \tfrac{1}{2} + x + 3z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 3z = 4{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x + z = \tfrac{3}{2}.
As duas dão a mesma relação
x + z = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Temos então duas relações
y = -\tfrac12 - x, \qquad z = \tfrac32 - x,
com x livre. Escrevendo x = t, obtemos a solução geral
\bigl(x,y,z\bigr) = \Bigl(t,\,-\tfrac12 - t,\;\tfrac32 - t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral do sistema é
\bigl(x,y,z\bigr) = \Bigl(t,\,-\tfrac12 - t,\;\tfrac32 - t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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