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(a) Seja A=\left[\begin{array}{rr}a & b \\\ k a & k b\end{array}\right]. Utilize o exercício anterior para determinar se A é equivalente por linhas a I_{2}.
(b) Seja A uma matriz 2 \times 2 com uma linha nula. Utilize o exercício anterior para determinar se A é equivalente por linhas a I_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se certas matrizes 2\times2 são equivalentes por linhas à identidade I_{2}. O conteúdo principal aqui é que uma matriz quadrada é equivalente por linhas a I_{2} se, e somente se, for invertível — ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Do exercício anterior sabemos que:
\text{uma matriz }A\text{ é equivalente por linhas a }I_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad\det(A)\neq0.é

Passo 3

(a) Para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[6pt] k a & k b\end{pmatrix},
calculamos o determinante:
\det(A)=a\cdot(k b)-b\cdot(k a) =k\,(a b - b a) =0.
Como \det(A)=0, a matriz não é invertível e, portanto, não é equivalente por linhas a I_{2}.]

Passo 4

(b) Se A tem uma linha nula, digamos (0,0), então claramente
\det(A)=0\cdot(\cdot)-0\cdot(\cdot)=0.
Logo A também não é invertível e não pode ser reduzida a I_{2}.

Resposta

(a) A não é equivalente por linhas a I_{2}.
(b) Qualquer matriz 2\times2 com linha nula não é equivalente por linhas a I_{2}.

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