Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes abaixo.
\left[\begin{array}{rrrr}0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a forma escalonada por linhas (row echelon form) da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Para isso, vamos aplicar o método de eliminação de Gauss: trocar linhas para obter pivô não nulo, e zerar abaixo de cada pivô usando combinações lineares.

Passo 2

Precisamos de um pivô não nulo na posição (1,1), mas A_{11}=0. Então trocamos a linha 1 com a linha 2:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Agora o pivô \,2 está em (1,1).

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo de (1,1) usando combinações sem introduzir frações:
  • Para a linha 3: substituímos R_3\leftarrow 2R_3 - R_1.
  • Para a linha 4: substituímos R_4\leftarrow 2R_4 - 3R_1.
O resultado é
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -6 & -1 \\\\ 0 & -5 & -4 & -13 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô da segunda coluna é -1 em (2,2). Zeramos abaixo dele:
  • R_3\leftarrow R_3 + 3R_2
  • R_4\leftarrow R_4 - 5R_2
Isso leva a
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 8 \\\\ 0 & 0 & -14 & -28 \end{pmatrix}.

Passo 5

A terceira linha tem zeros nas 3 primeiras colunas, mas a quarta linha tem -14 em (4,3). Para manter os pivôs descendo à direita, trocamos R_3 com R_4:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & -14 & -28 \\\\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
Agora cada pivô está estritamente à direita do anterior, e todas as entradas abaixo de cada pivô são zero.

Resposta

A forma escalonada por linhas de A é
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & -14 & -28 \\\\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.

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