(16.) Sejam a, b, c inteiros não nulos. Mostrar que [a, b, c]=\frac{|a b c|}{(a b, b c, a c)}.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são inteiros não nulos e pede para mostrar a identidade
[a,b,c]=\frac{|abc|}{(ab,bc,ac)}.
Aqui [a,b,c] denota o mínimo múltiplo comum de a,b,c e (x,y,z) denota o máximo divisor comum de x,y,z. Não há outras hipóteses fornecidas.

Passo 2

Estratégia do método (sem detalhes técnicos ainda): vamos provar a igualdade olhando primeiramente para cada primo p separadamente, usando a ideia de que um inteiro é determinado pelos exponentes das suas potências primárias. Para cada primo p vamos comparar a potência de p que divide cada lado da igualdade; se a potência de p for a mesma para todo primo p, então os inteiros são iguais.

Passo 3

Definição e propriedades úteis (explicação didática):
  • Para um primo p e inteiro n\neq0, escrevemos v_p(n) para o expoente de p na fatoração em primos de n. Ou seja, p^{v_p(n)} é a maior potência de p que divide n.
  • Propriedades que usaremos (são fáceis de justificar pela fatoração em primos):
    • v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y) para inteiros x,y.
    • v_p(\gcd(x,y,z))=\min\{v_p(x),v_p(y),v_p(z)\}.
    • v_p(\operatorname{lcm}(x,y,z))=\max\{v_p(x),v_p(y),v_p(z)\}.
      Explicando em palavras: o expoente de p no produto soma os expoentes; no mdc pega-se o menor expoente entre os números; no mmc pega-se o maior expoente.

Passo 4

Para fixar ideias, para cada primo p definimos
\alpha:=v_p(a),\qquad \beta:=v_p(b),\qquad \gamma:=v_p\text{(c)}.
Esses \alpha,\beta,\gamma são inteiros \ge0 (podem ser zero se p não divide o número).
Agora expressamos, em termos desses expoentes, as potências de p que aparecem nos diversos elementos da igualdade.

Passo 5

Calcular a potência de p que divide cada membro:
  • Para o mmc:
v_p\big([a,b,c]\big)=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}.
  • Para o numerador:
v_p\big(|abc|\big)=v_p(a)+v_p(b)+v_p\text{(c)}=\alpha+\beta+\gamma.
(A barra de valor absoluto |\cdot| não altera os expoentes porque trata apenas do sinal.)
  • Para o denominador:
v_p\big((ab,bc,ac)\big)=\min\{v_p(ab),\,v_p(bc),\,v_p(ac)\}.
Usando v_p(ab)=\alpha+\beta, v_p(bc)=\beta+\gamma, v_p(ac)=\alpha+\gamma, obtemos
v_p\big((ab,bc,ac)\big)=\min\{\alpha+\beta,\;\beta+\gamma,\;\alpha+\gamma\}.

Passo 6

Agora calculamos o expoente de p no quociente do lado direito:
v_p\!\left(\frac{|abc|}{(ab,bc,ac)}\right) = (\alpha+\beta+\gamma) - \min\{\alpha+\beta,\;\beta+\gamma,\;\alpha+\gamma\}.
Queremos mostrar que isso é igual a \max\{\alpha,\beta,\gamma\}.

Passo 7

Prova da igualdade dos expoentes (argumento simples e simétrico):
  • Sem perda de generalidade, suponha que \alpha=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}. Então \alpha\ge\beta e \alpha\ge\gamma.
  • Observe que \alpha+\beta\ge\beta+\gamma e \alpha+\gamma\ge\beta+\gamma, logo
\min\{\alpha+\beta,\;\beta+\gamma,\;\alpha+\gamma\}=\beta+\gamma.
  • Assim
(\alpha+\beta+\gamma)-\min\{\alpha+\beta,\beta+\gamma,\alpha+\gamma\} = (\alpha+\beta+\gamma)-(\beta+\gamma)=\alpha.
  • Como assumimos \alpha=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}, obtemos exatamente
(\alpha+\beta+\gamma)-\min\{\alpha+\beta,\beta+\gamma,\alpha+\gamma\}=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}.
  • A argumentação é simétrica se \beta ou \gamma forem os máximos; portanto para todo primo p vale
v_p\!\left(\frac{|abc|}{(ab,bc,ac)}\right)=\max\{\alpha,\beta,\gamma\}=v_p\big([a,b,c]\big).

Passo 8

Conclusão multiplicativa:
  • Vimos que para todo primo p os expoentes de p no lado esquerdo [a,b,c] e no lado direito \dfrac{|abc|}{(ab,bc,ac)} coincidem.
  • Dois inteiros positivos que têm a mesma potência de cada primo são iguais. Como ambos os lados são positivos (por isso o valor absoluto no numerador), concluímos
[a,b,c]=\frac{|abc|}{(ab,bc,ac)}.

Passo 9

Exemplo numérico para fixar (rápido e prático):
  • Tome a=6,\;b=10,\;c=15.
    • [6,10,15]=30.
    • abc=6\cdot10\cdot15=900, e |abc|=900.
    • ab=60,\;bc=150,\;ac=90. Então (ab,bc,ac)=(60,150,90)=30.
    • Assim \dfrac{|abc|}{(ab,bc,ac)}=\dfrac{900}{30}=30, que bate com [6,10,15].
      Isso ajuda a ver a fórmula funcionando na prática.

Resposta

[a,b,c]=\dfrac{|abc|}{(ab,bc,ac)}

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