(16.) Sejam
inteiros não nulos. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado dá que
são inteiros não nulos e pede para mostrar a identidade
Aqui
denota o mínimo múltiplo comum de
e
denota o máximo divisor comum de
. Não há outras hipóteses fornecidas.
Passo 2
Estratégia do método (sem detalhes técnicos ainda): vamos provar a igualdade olhando primeiramente para cada primo
separadamente, usando a ideia de que um inteiro é determinado pelos exponentes das suas potências primárias. Para cada primo
vamos comparar a potência de
que divide cada lado da igualdade; se a potência de
for a mesma para todo primo
, então os inteiros são iguais.
Passo 3
Definição e propriedades úteis (explicação didática):
- Para um primo
e inteiro , escrevemos para o expoente de na fatoração em primos de . Ou seja, é a maior potência de que divide . - Propriedades que usaremos (são fáceis de justificar pela fatoração em primos):
-
para inteiros . -
. -
.
Explicando em palavras: o expoente deno produto soma os expoentes; no mdc pega-se o menor expoente entre os números; no mmc pega-se o maior expoente.
-
Passo 4
Para fixar ideias, para cada primo
definimos
Esses
são inteiros
(podem ser zero se
não divide o número).
Agora expressamos, em termos desses expoentes, as potências de
que aparecem nos diversos elementos da igualdade.
Passo 5
Calcular a potência de
que divide cada membro:
- Para o mmc:
- Para o numerador:
(A barra de valor absoluto
não altera os expoentes porque trata apenas do sinal.)
- Para o denominador:
Usando
,
,
, obtemos
Passo 6
Agora calculamos o expoente de
no quociente do lado direito:
Queremos mostrar que isso é igual a
.
Passo 7
Prova da igualdade dos expoentes (argumento simples e simétrico):
- Sem perda de generalidade, suponha que
. Então e . - Observe que
e , logo
- Assim
- Como assumimos
, obtemos exatamente
- A argumentação é simétrica se
ou forem os máximos; portanto para todo primo vale
Passo 8
Conclusão multiplicativa:
- Vimos que para todo primo
os expoentes de no lado esquerdo e no lado direito coincidem. - Dois inteiros positivos que têm a mesma potência de cada primo são iguais. Como ambos os lados são positivos (por isso o valor absoluto no numerador), concluímos
Passo 9
Exemplo numérico para fixar (rápido e prático):
- Tome
. -
. -
, e . -
. Então . - Assim
, que bate com .
Isso ajuda a ver a fórmula funcionando na prática.
-