Verdadeiro ou Falso. Justifique.
“(a, b, c) \mid[c, d]”.
“(a, b, c) \mid[c, d]”.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa e justificar. Aqui a notação usada é a seguinte (peguei isso do próprio enunciado, é a interpretação usual):
-
significa o máximo divisor comum de (o gcd). -
significa o mínimo múltiplo comum de (o lcm).
Passo 2
Lembra do que significa “dividir”: para inteiros
dizemos que
se existe um inteiro
tal que
. Uma propriedade elementar e muito útil é a transitividade da divisibilidade: se
e
então
. Vou usar isso depois.
Passo 3
Propriedades básicas de
e
(explico por que elas valem):
- Se
então, por definição de máximo divisor comum, é um divisor comum de . Ou seja, , e . (Não importa que seja o maior: todo gcd divide cada argumento.) - Se
então, por definição de mínimo múltiplo comum, é um múltiplo comum de e . Ou seja, e . (O lcm é um número múltiplo de cada um dos argumentos.)
Essas propriedades vêm direto das definições: “gcd” é um divisor comum, “lcm” é um múltiplo comum.
Passo 4
Agora a prova direta, usando as propriedades e a transitividade da divisibilidade:
- Seja
. Então . - Seja
. Então . - Pela transitividade, já que
e , segue que .
Portanto
é sempre verdadeiro.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido para fixar: tome
,
,
,
.
E realmente
. Isso ilustra o argumento geral.
Resposta
Verdadeiro.