Verdadeiro ou Falso. Justifique.
“(a, b, c) \mid[c, d]”.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação
(a,b,c)\mid [c,d]
é verdadeira ou falsa e justificar. Aqui a notação usada é a seguinte (peguei isso do próprio enunciado, é a interpretação usual):
  • (a,b,c) significa o máximo divisor comum de a,b,c (o gcd).
  • [c,d] significa o mínimo múltiplo comum de c,d (o lcm).

Passo 2

Lembra do que significa “dividir”: para inteiros x,y dizemos que x\mid y se existe um inteiro k tal que y=kx. Uma propriedade elementar e muito útil é a transitividade da divisibilidade: se x\mid y e y\mid z então x\mid z. Vou usar isso depois.

Passo 3

Propriedades básicas de \gcd e \operatorname{lcm} (explico por que elas valem):
  • Se g=(a,b,c) então, por definição de máximo divisor comum, g é um divisor comum de a,b,c. Ou seja, g\mid a, g\mid b e g\mid c. (Não importa que seja o maior: todo gcd divide cada argumento.)
  • Se L=[c,d] então, por definição de mínimo múltiplo comum, L é um múltiplo comum de c e d. Ou seja, c\mid L e d\mid L. (O lcm é um número múltiplo de cada um dos argumentos.)
Essas propriedades vêm direto das definições: “gcd” é um divisor comum, “lcm” é um múltiplo comum.

Passo 4

Agora a prova direta, usando as propriedades e a transitividade da divisibilidade:
  • Seja g=(a,b,c). Então g\mid c.
  • Seja L=[c,d]. Então c\mid L.
  • Pela transitividade, já que g\mid c e c\mid L, segue que g\mid L.
Portanto (a,b,c)\mid [c,d] é sempre verdadeiro.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido para fixar: tome a=6, b=9, c=15, d=8.
(a,b,c)=(6,9,15)=3,\qquad [c,d]=[15,8]=120.
E realmente 3\mid 120. Isso ilustra o argumento geral.

Resposta

Verdadeiro.

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