-16 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( \lambda=589 \mathrm{~nm} ) separadas por 0,208 . Qual é a separação das franjas quando o sistema é imerso em água ( n=1,33 )?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Comprimento de onda da luz do sódio no ar: \lambda=589\\ \mathrm{nm}.
  • Separação entre franjas no ar: \Delta y_{\text{ar}}=0,208 (o enunciado não especificou unidade; vou manter a mesma unidade na resposta).
  • Índice de refração da água: n=1,33.
O que é pedido:
  • Determinar a separação entre franjas quando o sistema de dupla fenda é imerso em água, ou seja, encontrar \Delta y_{\text{água}}á.

Passo 2

Entendendo a fórmula das franjas em dupla fenda — pequena aula básica e intuitiva.
Quando duas fendas estão iluminadas por luz coerente, os máximos de interferência ocorrem para ângulos \theta que satisfazem a condição de máximos:
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \lambda é o comprimento de onda da luz no meio,
  • m é um inteiro (ordem do máximo: m=0,\pm1,\pm2,\dots).
Na tela distante, a posição vertical y_m do máximo de ordem m está relacionada ao ângulo por \tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta \approx \dfrac{y_m}{L} (aproximação para ângulos pequenos), onde L é a distância entre as fendas e a tela. Substituindo,
d\frac{y_m}{L} \approx m\lambda \quad\Rightarrow\quad y_m \approx \frac{m\lambda L}{d}.
A separação entre franjas adjacentes (entre m e m+1) é
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{\lambda L}{d}.
Aqui:
  • \Delta y é diretamente proporcional a \lambda. Se \lambda muda (por exemplo, ao imergir em outro meio), \Delta y muda na mesma proporção.

Passo 3

Como a imersão em água afeta o comprimento de onda — explicação física.
A frequência f da luz não muda ao entrar num meio; o que muda é a velocidade v da onda no meio:
v = \frac{c}{n},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e n é o índice de refração do meio. Como \lambda = v/f e f é constante, o comprimento de onda no meio é
\lambda_{\text{água}} = \frac{\lambda}{n}.á
Portanto, a nova separação das franjas na água será
\Delta y_{\text{água}} = \frac{\lambda_{\text{água}} L}{d} = \frac{\lambda L}{d}\cdot\frac{1}{n} = \frac{\Delta y_{\text{ar}}}{n}.áá
Ou seja: a separação das franjas diminui por um fator n.

Passo 4

Aplicando a relação encontrada ao valor fornecido.
Usamos diretamente
\Delta y_{\text{água}}=\frac{\Delta y_{\text{ar}}}{n}.á
Substituindo os números dados (mantendo a mesma unidade de \Delta y_{\text{ar}}):
\Delta y_{\text{água}}=\frac{0,208}{1,33}.á

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo e arredondamento.
Transformando a divisão em fração para calcular sem calculadora:
\frac{0,208}{1,33}=\frac{208}{1330}.
Fazendo a divisão longa (ou estimativa cuidadosa):
\frac{208}{1330}\approx 0,15639\ldots
Arredondando a três algarismos significativos (mantendo a precisão compatível com os dados):
\Delta y_{\text{água}}\approx 0,156á
Na mesma unidade em que foi dada \Delta y_{\text{ar}}=0,208.

Resposta

0,156

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