Um objeto de capacidade térmica C constante é aquecido de uma temperatura inicial T_{i} até uma temperatura final T_{f} ao ser colocado em contato com um reservatório a T_{f}. Represente o processo em um gráfico \mathrm{C} / \mathrm{T} versus T e mostre graficamente que a variação total de entropia \Delta \mathrm{S} (objeto mais reservatório) é positiva.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: representar graficamente o processo em um gráfico \tfrac{C}{T} versus T e mostrar, de forma gráfica, que a variação total de entropia (objeto + reservatório) \Delta S_{\text{total}} é positiva.
  • Dados importantes:
    • Capacidade térmica do objeto é constante e vale C.
    • O objeto vai de temperatura inicial T_i até temperatura final T_f.
    • O reservatório tem temperatura constante T_f (isto é, o calor trocado com o reservatório ocorre a T_f).
  • Pergunta explícita: mostrar graficamente que \Delta S_{\text{total}}>0.

Passo 2

Conceito básico de entropia que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Definição diferencial de entropia para um processo reversível: \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
    Isso significa que a variação de entropia entre duas temperaturas pode ser obtida integrando a quantidade reversível de calor dividida pela temperatura.
  • Para um corpo com capacidade térmica constante C, a quantidade de calor reversível necessária para aumentar sua temperatura de T para T+\mathrm{d}T é \delta Q_{\text{rev}}=C\,\mathrm{d}T.
    Aqui C é a razão entre a variação de calor e a variação de temperatura: C=\dfrac{\delta Q}{\mathrm{d}T} (assumimos C constante).
  • Logo, a variação de entropia do objeto ao aquecer de T_i a T_f é
\Delta S_{\text{obj}}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,\mathrm{d}T}{T}.
  • Esta integral é imediata:
\Delta S_{\text{obj}}=C\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm{d}T}{T}=C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).

Passo 3

Entropia do reservatório:
  • O reservatório tem temperatura constante T_f. Ele fornece (ou recebe) calor -Q igual em módulo ao calor absorvido pelo objeto. O calor recebido pelo objeto é
Q_{\text{obj}}=C\,(T_f-T_i).
  • O reservatório perde esse calor, portanto sua variação de entropia é
\Delta S_{\text{res}}=\frac{\delta Q_{\text{res}}}{T_f}=\frac{-Q_{\text{obj}}}{T_f}=-\frac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}.
  • Observação conceitual: como o reservatório permanece à temperatura fixa T_f, sua variação de entropia é simplesmente calor trocado dividido por T_f.

Passo 4

Expressão para a variação total de entropia e objetivo gráfico:
  • A variação total do sistema (objeto + reservatório) é
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{obj}}+\Delta S_{\text{res}}=C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)-\frac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}.
  • Queremos mostrar que \Delta S_{\text{total}}\ge 0 (estritamente >0 se T_f\neq T_i) e fazer isso graficamente no gráfico \tfrac{C}{T} versus T.

Passo 5

Interpretação geométrica no gráfico \tfrac{C}{T} versus T:
  • Como C é constante, a função a ser desenhada é
f(T)=\frac{C}{T},
que é uma curva decrescente e positiva para T>0 (hipérbole em T).
  • No gráfico \tfrac{C}{T} versus T:
    • A área sob a curva f(T)=\dfrac{C}{T} entre T_i e T_f é exatamente \displaystyle\int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,\mathrm{d}T}{T}=\Delta S_{\text{obj}}. Portanto, \Delta S_{\text{obj}} é a área sob a curva entre T_i e T_f.
    • Considere o retângulo de base [T_i,T_f] (largura T_f-T_i) e altura f(T_f)=\dfrac{C}{T_f}. A área desse retângulo é
    \text{Área do retângulo}=\frac{C}{T_f}\,(T_f-T_i)=\frac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}.Áâ
    • Essa área do retângulo é o módulo de \Delta S_{\text{res}} (isto é, |\Delta S_{\text{res}}|); de fato \Delta S_{\text{res}}=- (área do retângulo).
  • Como f(T)=\dfrac{C}{T} é decrescente no intervalo [T_i,T_f], para todo T\in[T_i,T_f] vale f(T)\ge f(T_f). Assim, a área sob a curva entre T_i e T_f é maior ou igual à área do retângulo de base T_f-T_i e altura f(T_f). Em termos de integrais:
\int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,\mathrm{d}T}{T}\ge \frac{C}{T_f}(T_f-T_i).
  • Interpretando: a área que representa \Delta S_{\text{obj}} (sombra sob a curva) é maior ou igual à área do retângulo que representa |\Delta S_{\text{res}}|. Portanto a soma algébrica
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{obj}}+\Delta S_{\text{res}}=\text{(área sob a curva)}-\text{(área do retângulo)}ááâ
é maior ou igual a zero. Graficamente, a área positiva excede a negativa.

Passo 6

Rigor algébrico da desigualdade (com a mesma ideia gráfica, mas escrito):
  • A comparação de áreas deu a desigualdade
C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)=\int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,\mathrm{d}T}{T}\ge \frac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}.
  • Subtraindo o termo da direita obtemos
\Delta S_{\text{total}}=C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)-\frac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}\ge 0.
  • Igualdade só se T_f=T_i (nesse caso não há troca de calor e \Delta S_{\text{total}}=0); caso contrário a desigualdade é estrita e \Delta S_{\text{total}}>0.
  • Uma forma alternativa de ver a desigualdade (identidade clássica) é colocar x=\dfrac{T_i}{T_f} (com 0<x<1 se T_i<T_f) e usar a conhecida desigualdade \ln x\le x-1 (válida para todo x>0, com igualdade só em x=1). Reescrevendo obtém-se a mesma conclusão de forma algébrica:
\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\ge 1-\frac{T_i}{T_f}\quad\Longrightarrow\quad \Delta S_{\text{total}}\ge0.

Passo 7

Comentário físico e conclusão encorajadora:
  • Fisicamente isso significa: ao colocar o objeto frio num reservatório mais quente, o objeto ganha entropia (área sob a curva), o reservatório perde entropia (retângulo), mas o ganho do objeto é maior que a perda do reservatório, então a entropia total aumenta — isto é coerente com a segunda lei da termodinâmica.
  • Energia total (calor) é conservada entre os dois, mas a entropia aumenta porque o calor foi transferido irreversivelmente de um corpo (reservatório) a temperatura fixa para outro corpo que teve temperatura variando durante o aquecimento.

Resposta

\Delta S_{\text{total}}=C\ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right)-\dfrac{C\,(T_f-T_i)}{T_f}\ge 0, com igualdade apenas se T_f=T_i.

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