Um objeto de capacidade térmica
constante é aquecido de uma temperatura inicial
até uma temperatura final
ao ser colocado em contato com um reservatório a
. Represente o processo em um gráfico
versus T e mostre graficamente que a variação total de entropia
(objeto mais reservatório) é positiva.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: representar graficamente o processo em um gráfico
versus e mostrar, de forma gráfica, que a variação total de entropia (objeto + reservatório) é positiva. - Dados importantes:
- Capacidade térmica do objeto é constante e vale
. - O objeto vai de temperatura inicial
até temperatura final . - O reservatório tem temperatura constante
(isto é, o calor trocado com o reservatório ocorre a ).
- Capacidade térmica do objeto é constante e vale
- Pergunta explícita: mostrar graficamente que
.
Passo 2
Conceito básico de entropia que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Definição diferencial de entropia para um processo reversível:
.
Isso significa que a variação de entropia entre duas temperaturas pode ser obtida integrando a quantidade reversível de calor dividida pela temperatura. - Para um corpo com capacidade térmica constante
, a quantidade de calor reversível necessária para aumentar sua temperatura de para é .
Aquié a razão entre a variação de calor e a variação de temperatura: (assumimos constante). - Logo, a variação de entropia do objeto ao aquecer de
a é
- Esta integral é imediata:
Passo 3
Entropia do reservatório:
- O reservatório tem temperatura constante
. Ele fornece (ou recebe) calor igual em módulo ao calor absorvido pelo objeto. O calor recebido pelo objeto é
- O reservatório perde esse calor, portanto sua variação de entropia é
- Observação conceitual: como o reservatório permanece à temperatura fixa
, sua variação de entropia é simplesmente calor trocado dividido por .
Passo 4
Expressão para a variação total de entropia e objetivo gráfico:
- A variação total do sistema (objeto + reservatório) é
- Queremos mostrar que
(estritamente se ) e fazer isso graficamente no gráfico versus .
Passo 5
Interpretação geométrica no gráfico
versus
:
- Como
é constante, a função a ser desenhada é
que é uma curva decrescente e positiva para
(hipérbole em
).
- No gráfico
versus : - A área sob a curva
entre e é exatamente . Portanto, é a área sob a curva entre e . - Considere o retângulo de base
(largura ) e altura . A área desse retângulo é
- Essa área do retângulo é o módulo de
(isto é, ); de fato (área do retângulo).
- A área sob a curva
- Como
é decrescente no intervalo , para todo vale . Assim, a área sob a curva entre e é maior ou igual à área do retângulo de base e altura . Em termos de integrais:
- Interpretando: a área que representa
(sombra sob a curva) é maior ou igual à área do retângulo que representa . Portanto a soma algébrica
é maior ou igual a zero. Graficamente, a área positiva excede a negativa.
Passo 6
Rigor algébrico da desigualdade (com a mesma ideia gráfica, mas escrito):
- A comparação de áreas deu a desigualdade
- Subtraindo o termo da direita obtemos
- Igualdade só se
(nesse caso não há troca de calor e ); caso contrário a desigualdade é estrita e . - Uma forma alternativa de ver a desigualdade (identidade clássica) é colocar
(com se ) e usar a conhecida desigualdade (válida para todo , com igualdade só em ). Reescrevendo obtém-se a mesma conclusão de forma algébrica:
Passo 7
Comentário físico e conclusão encorajadora:
- Fisicamente isso significa: ao colocar o objeto frio num reservatório mais quente, o objeto ganha entropia (área sob a curva), o reservatório perde entropia (retângulo), mas o ganho do objeto é maior que a perda do reservatório, então a entropia total aumenta — isto é coerente com a segunda lei da termodinâmica.
- Energia total (calor) é conservada entre os dois, mas a entropia aumenta porque o calor foi transferido irreversivelmente de um corpo (reservatório) a temperatura fixa para outro corpo que teve temperatura variando durante o aquecimento.