2^{\text {a }} Questão: O gás em uma câmera de nuvens está à temperatura de 292 K e experimenta uma expansão rápida. Supondo que o processo é adiabático, calculẹ a temperatura final se y=1,40 e a razão de expansão de volume é 1,28 (ou seja, V_{f} / V_{i}=1,28 )

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final do gás depois de uma expansão rápida adiabática. Informações dadas:
  • Temperatura inicial: T_i = 292\\ \text{K}.
  • Processo adiabático (sem troca de calor).
  • Razão adiabática: \gamma = 1{,}40.
  • Razão de volumes: \dfrac{V_f}{V_i} = 1{,}28.
O que se quer: calcular a temperatura final T_f.

Passo 2

Qual fórmula usar? Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde P é a pressão, V é o volume e \gamma é a razão dos calores específicos \gamma = C_P/C_V. Vou agora combinar isso com a equação dos gases ideais para obter uma relação envolvendo temperatura.

Passo 3

A equação dos gases ideais é
P V = n R T,
onde n é a quantidade de matéria (mols), R é a constante dos gases e T a temperatura. A partir de P V^{\gamma}= constante e P V = nRT podemos eliminar P e obter a relação entre T e V para o processo adiabático. Procedimento (passo a passo):
  • Da equação dos gases, P = \dfrac{n R T}{V}.
  • Substituindo em P V^{\gamma}= constante:
\left(\dfrac{n R T}{V}\right) V^{\gamma} = n R \, T \, V^{\gamma-1} = \text{constante}.
Logo, para um mesmo processo adiabático
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Isso significa que, entre estado inicial e final,
T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}.

Passo 4

Isolar T_f. Da relação anterior temos
T_f = T_i\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Aqui:
  • T_f é a temperatura final que queremos achar;
  • T_i é a temperatura inicial (dada);
  • V_i/V_f é o inverso da razão de volumes informada;
  • \gamma-1 é o expoente que usamos.
Calcule \gamma-1:
\gamma-1 = 1{,}40 - 1 = 0{,}40.
Calcule a razão V_i/V_f:
\dfrac{V_i}{V_f} = \dfrac{1}{1{,}28} = 0{,}78125.
Portanto
T_f = 292\left(0{,}78125\right)^{0{,}40}.

Passo 5

Agora avaliar \left(0{,}78125\right)^{0{,}40}. Usando logaritmos (ou calculadora), pode-se proceder assim:
\ln\!\left(0{,}78125^{0{,}40}\right) = 0{,}40\ln(0{,}78125).
Calculando numericamente (valores arredondados com precisão suficiente):
\ln(0{,}78125)\approx -0{,}246860,\qquad 0{,}40\ln(0{,}78125)\approx -0{,}098744.
Daí
0{,}78125^{0{,}40} = e^{-0{,}098744}\approx 0{,}90603.
Finalmente,
T_f = 292\times 0{,}90603 \approx 264{,}56\\ \text{K}.
Interpretação física rápida: a temperatura caiu (de 292 K para cerca de 264{,}6 K) porque o gás expandiu adiabaticamente e realizou trabalho, consumindo energia interna e reduzindo T. Está tudo coerente.

Resposta

T_f \approx 264{,}6\\ \text{K}

Exercícios relacionados