Série de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática usada para analisar funções periódicas complexas. Ela nos permite decompor essas funções em uma soma de componentes senoidais mais simples, com senos e cossenos. Essa representação é especialmente útil para entender e simplificar o comportamento de sinais periódicos em diversas áreas, como processamento de sinais, comunicações, acústica e engenharia elétrica. A ideia fundamental por trás da série de fourier é que qualquer função periódica pode ser expressa como uma combinação infinita dessas ondas senoidais. Essa decomposição nos ajuda a entender como diferentes frequências contribuem para a forma geral do sinal.
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico frances, introduziu essa técnica no inficio do século XIX. Ele mostrou que funções complexas podem ser representadas como uma soma ponderada de senos e cossenos, permitindo-nos analisar e sintetizar sinais de maneira mais eficiente. Diante disso, determine as representações em série de Fourier para os sinais apresentados nos itens a seguir.
(B) x(t)=e^{-t} para -1<t<1

Passo 1

O enunciado fornece a função x(t)=e^{-t} definida no intervalo -1<t<1 e pede a sua representação em série de Fourier periódica. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função está dada apenas em -1<t<1. Isso indica que devemos considerar a extensão periódica dessa função com período igual ao comprimento do intervalo dado.
  • O comprimento do intervalo -1<t<1 é 2. Logo assumimos que a extensão periódica tem período T=2.
  • Pergunta: determinar a série de Fourier (forma trigonométrica) da função periódica de período T=2 que coincide com e^{-t} em -1<t<1.

Passo 2

Definimos a forma trigonométrica padrão da série de Fourier para período T=2:
x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right],
onde \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi. Explico o que é cada termo:
  • \omega_0 é a frequência angular fundamental. Aqui \omega_0=\pi.
  • a_0 é o coeficiente médio (DC) multiplicado por 2 na notação usada.
  • a_n e b_n são os coeficientes das componentes cosseno e seno de ordem n.
    As fórmulas para os coeficientes, quando usamos um período T=2 e integramos em [-1,1], ficam
a_0=\int_{-1}^{1} x(t)\,dt,
a_n=\int_{-1}^{1} x(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt,
b_n=\int_{-1}^{1} x(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt,
pois o fator \dfrac{2}{T} vale 1 quando T=2. Aqui x(t)=e^{-t} no intervalo de integração.

Passo 3

Calculo de a_0:
a_0=\int_{-1}^{1} e^{-t}\,dt.
Faço a integral direto: \displaystyle\int e^{-t}dt=-e^{-t}. Então
a_0=\big[-e^{-t}\big]_{t=-1}^{t=1}=-e^{-1}-(-e^{1})=e-e^{-1}.
Portanto o termo médio na série (que aparece como \tfrac{a_0}{2}) será \dfrac{e-e^{-1}}{2}.

Passo 4

Agora calculamos a_n. Escrevo a integral:
a_n=\int_{-1}^{1} e^{-t}\cos(n\pi t)\,dt.
Para resolver essa integral uso a fórmula conhecida (ou obtenho por partes): para constantes a e b,
\int e^{at}\cos(bt)\,dt=\frac{e^{at}}{a^2+b^2}\big(a\cos(bt)+b\sin(bt)\big).
Aqui a=-1 e b=n\pi. Substituindo, uma primitiva é
F(t)=\frac{e^{-t}}{1+n^2\pi^2}\big(-\cos(n\pi t)+n\pi\sin(n\pi t)\big).
Portanto
a_n=\left.\frac{e^{-t}}{1+n^2\pi^2}\big(-\cos(n\pi t)+n\pi\sin(n\pi t)\big)\right|_{t=-1}^{t=1}.

Passo 5

Avalio os termos em t=1 e t=-1. Observações que simplificam muito:
  • \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n.
  • \cos(n\pi)=(-1)^n.
    Usando isso,
    valor em t=1:
\frac{e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\big(-\cos(n\pi)+n\pi\sin(n\pi)\big)=\frac{e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\big(-(-1)^n+0\big)=-\frac{(-1)^n e^{-1}}{1+n^2\pi^2}.
valor em t=-1:
\frac{e^{1}}{1+n^2\pi^2}\big(-\cos(-n\pi)+n\pi\sin(-n\pi)\big)=\frac{e^{1}}{1+n^2\pi^2}\big(-(-1)^n+0\big)=-\frac{(-1)^n e^{1}}{1+n^2\pi^2}.
Agora a_n=F(1)-F(-1), portanto
a_n=-\frac{(-1)^n e^{-1}}{1+n^2\pi^2}-\left(-\frac{(-1)^n e^{1}}{1+n^2\pi^2}\right) =\frac{(-1)^n(e^{1}-e^{-1})}{1+n^2\pi^2}.
Posso escrever de forma mais compacta:
a_n=(-1)^n\frac{e-e^{-1}}{1+n^2\pi^2}.

Passo 6

Agora calculamos b_n:
b_n=\int_{-1}^{1} e^{-t}\sin(n\pi t)\,dt.
Usamos a fórmula análoga
\int e^{at}\sin(bt)\,dt=\frac{e^{at}}{a^2+b^2}\big(a\sin(bt)-b\cos(bt)\big).
Com a=-1 e b=n\pi obtemos a primitiva
G(t)=\frac{e^{-t}}{1+n^2\pi^2}\big(-\sin(n\pi t)-n\pi\cos(n\pi t)\big).
Logo
b_n=\left.\frac{e^{-t}}{1+n^2\pi^2}\big(-\sin(n\pi t)-n\pi\cos(n\pi t)\big)\right|_{t=-1}^{t=1}.

Passo 7

Avalio G(1) e G(-1) usando \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n:
G(1)=\frac{e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\big(0 - n\pi(-1)^n\big)=-\frac{n\pi(-1)^n e^{-1}}{1+n^2\pi^2},
G(-1)=\frac{e^{1}}{1+n^2\pi^2}\big(0 - n\pi\cos(-n\pi)\big)=-\frac{n\pi(-1)^n e^{1}}{1+n^2\pi^2}.
Então b_n=G(1)-G(-1)
b_n=-\frac{n\pi(-1)^n e^{-1}}{1+n^2\pi^2}-\left(-\frac{n\pi(-1)^n e^{1}}{1+n^2\pi^2}\right) =\frac{n\pi(-1)^n(e^{1}-e^{-1})}{1+n^2\pi^2}.
Ou de forma organizada:
b_n=(-1)^n\frac{n\pi\,(e-e^{-1})}{1+n^2\pi^2}.

Passo 8

Resumo dos coeficientes (todos os cálculos acima mostram que todos os coeficientes compartilham um fator comum (e-e^{-1})):
a_0=e-e^{-1},
a_n=(-1)^n\frac{e-e^{-1}}{1+n^2\pi^2},
b_n=(-1)^n\frac{n\pi\,(e-e^{-1})}{1+n^2\pi^2},
para n=1,2,3,\dots. Lembre que na série a constante aparece como \dfrac{a_0}{2}.

Passo 9

Escrevo então a série de Fourier final, factorizando o fator comum (e-e^{-1}) para ficar mais enxuta:
x(t)=\frac{e-e^{-1}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{e-e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\left[\cos(n\pi t)+n\pi\sin(n\pi t)\right].
Se preferir separar os termos em a_n e b_n, a forma equivalente é
x(t)=\frac{e-e^{-1}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^n\frac{e-e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\cos(n\pi t)+(-1)^n\frac{n\pi(e-e^{-1})}{1+n^2\pi^2}\sin(n\pi t)\right].

Resposta

\displaystyle x(t)=\frac{e-e^{-1}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^n\frac{e-e^{-1}}{1+n^2\pi^2}\cos(n\pi t)+(-1)^n\frac{n\pi(e-e^{-1})}{1+n^2\pi^2}\sin(n\pi t)\right]

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