Série de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática usada para analisar funções periódicas complexas. Ela nos permite decompor essas funções em uma soma de componentes senoidais mais simples, com senos e cossenos. Essa representação é especialmente útil para entender e simplificar o comportamento de sinais periódicos em diversas áreas, como processamento de sinais, comunicações, acústica e engenharia elétrica. A ideia fundamental por trás da série de fourier é que qualquer função periódica pode ser expressa como uma combinação infinita dessas ondas senoidais. Essa decomposição nos ajuda a entender como diferentes frequências contribuem para a forma geral do sinal.
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico frances, introduziu essa técnica no inficio do século XIX. Ele mostrou que funções complexas podem ser representadas como uma soma ponderada de senos e cossenos, permitindo-nos analisar e sintetizar sinais de maneira mais eficiente. Diante disso, determine as representações em série de Fourier para os sinais apresentados nos itens a seguir.
(B) x(t)=e^{-t} para -1<t<1
Passo 1
O enunciado fornece a função x(t)=e^{-t} definida no intervalo -1<t<1 e pede a sua representação em série de Fourier periódica. Informações importantes extraídas do enunciado:
A função está dada apenas em -1<t<1. Isso indica que devemos considerar a extensão periódica dessa função com período igual ao comprimento do intervalo dado.
O comprimento do intervalo -1<t<1 é 2. Logo assumimos que a extensão periódica tem período T=2.
Pergunta: determinar a série de Fourier (forma trigonométrica) da função periódica de período T=2 que coincide com e^{-t} em -1<t<1.
Passo 2
Definimos a forma trigonométrica padrão da série de Fourier para período T=2:
onde \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi. Explico o que é cada termo:
\omega_0 é a frequência angular fundamental. Aqui \omega_0=\pi.
a_0 é o coeficiente médio (DC) multiplicado por 2 na notação usada.
a_n e b_n são os coeficientes das componentes cosseno e seno de ordem n.
As fórmulas para os coeficientes, quando usamos um período T=2 e integramos em [-1,1], ficam
a_0=\int_{-1}^{1} x(t)\,dt,
a_n=\int_{-1}^{1} x(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt,
b_n=\int_{-1}^{1} x(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt,
pois o fator \dfrac{2}{T} vale 1 quando T=2. Aqui x(t)=e^{-t} no intervalo de integração.
Passo 3
Calculo de a_0:
a_0=\int_{-1}^{1} e^{-t}\,dt.
Faço a integral direto: \displaystyle\int e^{-t}dt=-e^{-t}. Então