(a) Definindo o produto escalar
pela Equação (1.7),
, mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor
é
. (b) Está claro que o comprimento de um vetor não depende da escolha dos eixos coordenados. Logo, o resultado do item (a) garante que o produto escalar
, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. Use isso para mostrar que
, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. [Sugestão: considere o comprimento do vetor
.]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Mostrar que a magnitude de qualquer vetor
satisfaz , onde o produto escalar é definido por . - (b) Usando que o comprimento de um vetor não depende da escolha de eixos ortogonais (isto é,
é o mesmo em qualquer sistema ortogonal), mostrar que o produto escalar também é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. A sugestão é considerar o comprimento do vetor .
Informações dadas e que vamos usar:
- Definição do produto escalar em coordenadas ortogonais:
. - Teorema de Pitágoras: em eixos ortogonais, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
- Comprimento (magnitude) de um vetor em eixos ortogonais é independente da escolha dos eixos.
Não vamos ainda resolver; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Entendendo a parte (a): o que significa componente e magnitude.
- Tome um sistema de eixos ortogonais (bases ortonormais) com direções mutuamente perpendiculares e de comprimento unitário.
- Escrevemos o vetor
pelas suas componentes em relação a esses eixos: . Aqui é a projeção (componente) de na direção do -ésimo eixo. - A magnitude (comprimento) de
— que chamamos de — é a distância da origem até a ponta do vetor. Em coordenadas ortogonais, essa distância obedece ao teorema de Pitágoras estendido: o quadrado do comprimento é a soma dos quadrados das componentes.
Passo 3
Aplicando o teorema de Pitágoras em coordenadas:
- Pelo teorema de Pitágoras aplicado sucessivamente aos componentes ortogonais obtemos a fórmula do comprimento ao quadrado:
- Pela definição do produto escalar dada no enunciado, calcule
:
- Comparando as duas expressões vemos que
- Tomando raiz quadrada (e escolhendo a raiz não negativa, porque magnitude é não negativa) obtemos
Passo 4
Um exemplo rápido para fixar (aconchego didático): em duas dimensões,
.
- Pelo Pitágoras, o comprimento é
. - Pelo produto escalar
, e . Dá certinho — é a mesma ideia em geral.
Passo 5
Agora a parte (b): objetivo e estratégia.
- Queremos mostrar que
, calculado por em um sistema ortogonal, tem o mesmo valor em qualquer outro sistema de eixos ortogonais. - Vamos usar a sugestão: olhar para o comprimento do vetor
. A ideia é escrever o quadrado desse comprimento em termos de produtos escalares e resolver para . Como comprimentos (ou seus quadrados) são independentes da escolha de eixos ortogonais, isso mostrará a invariância de .
Passo 6
Computando
em coordenadas (usando a definição do produto escalar):
- As componentes de
são . - Pelo item (a) e pela definição do produto escalar,
- Expandindo o quadrado coordena a coordenada:
- Separe as somas:
- Em notação de produto escalar isso é
Passo 7
Isolando
e usando invariância dos comprimentos:
- Reorganize a igualdade anterior para obter
:
- Do item (a) sabemos que
e , e o enunciado afirma que esses comprimentos (e portanto seus quadrados) são independentes da escolha de eixos ortogonais. - Além disso, o comprimento de
também é uma propriedade geométrica do vetor e não depende dos eixos ortogonais escolhidos. - Assim, o lado direito da expressão acima é formado apenas por quantidades geométricas (quadrados de comprimentos) que não mudam quando trocamos para outro sistema de eixos ortogonais. Portanto o valor de
obtido por essa fórmula também não muda.
Passo 8
Conclusão final e intuição:
- Mostramos que existe uma fórmula que expressa
em termos dos comprimentos de , e . Como esses comprimentos não dependem da escolha de eixos ortogonais, o produto escalar calculado por em qualquer sistema ortogonal dá sempre o mesmo número. - Intuitivamente: escolher outro conjunto de eixos ortogonais só corresponde a rodar (ou refletir) todo o sistema de referência; rotações e reflexões preservam distâncias, e o produto escalar pode ser recuperado a partir de distâncias, logo é preservado.
Resposta
(a)
(b) , logo
é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais.
(b)