1.16^{\star \star} (a) Definindo o produto escalar \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} pela Equação (1.7), \mathbf{r} \cdot \mathbf{s}=\sum r_{i} s_{i}, mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor \mathbf{r} é r=\sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}. (b) Está claro que o comprimento de um vetor não depende da escolha dos eixos coordenados. Logo, o resultado do item (a) garante que o produto escalar \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. Use isso para mostrar que \mathbf{r} \cdot \mathbf{s}, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. [Sugestão: considere o comprimento do vetor \mathbf{r}+\mathbf{s}.]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  1. (a) Mostrar que a magnitude de qualquer vetor \mathbf{r} satisfaz \;r=\sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}\;, onde o produto escalar é definido por \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\sum r_i s_i.
  2. (b) Usando que o comprimento de um vetor não depende da escolha de eixos ortogonais (isto é, \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} é o mesmo em qualquer sistema ortogonal), mostrar que o produto escalar \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} também é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. A sugestão é considerar o comprimento do vetor \mathbf{r}+\mathbf{s}.
Informações dadas e que vamos usar:
  • Definição do produto escalar em coordenadas ortogonais: \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\sum_i r_i s_i.
  • Teorema de Pitágoras: em eixos ortogonais, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
  • Comprimento (magnitude) de um vetor em eixos ortogonais é independente da escolha dos eixos.
    Não vamos ainda resolver; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Entendendo a parte (a): o que significa componente e magnitude.
  • Tome um sistema de eixos ortogonais (bases ortonormais) com direções mutuamente perpendiculares e de comprimento unitário.
  • Escrevemos o vetor \mathbf{r} pelas suas componentes em relação a esses eixos: \mathbf{r}=(r_1,r_2,\dots,r_n). Aqui r_i é a projeção (componente) de \mathbf{r} na direção do i-ésimo eixo.
  • A magnitude (comprimento) de \mathbf{r} — que chamamos de r — é a distância da origem até a ponta do vetor. Em coordenadas ortogonais, essa distância obedece ao teorema de Pitágoras estendido: o quadrado do comprimento é a soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Aplicando o teorema de Pitágoras em coordenadas:
  • Pelo teorema de Pitágoras aplicado sucessivamente aos componentes ortogonais obtemos a fórmula do comprimento ao quadrado:
r^2 = r_1^2 + r_2^2 + \cdots + r_n^2.
  • Pela definição do produto escalar dada no enunciado, calcule \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}:
\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=\sum_i r_i r_i = \sum_i r_i^2 = r_1^2+r_2^2+\cdots+r_n^2.
  • Comparando as duas expressões vemos que
r^2 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}.
  • Tomando raiz quadrada (e escolhendo a raiz não negativa, porque magnitude é não negativa) obtemos
r=\sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}.

Passo 4

Um exemplo rápido para fixar (aconchego didático): em duas dimensões, \mathbf{r}=(3,4).
  • Pelo Pitágoras, o comprimento é r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Pelo produto escalar \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=3\cdot3+4\cdot4=9+16=25, e \sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}=\sqrt{25}=5. Dá certinho — é a mesma ideia em geral.

Passo 5

Agora a parte (b): objetivo e estratégia.
  • Queremos mostrar que \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}, calculado por \sum_i r_i s_i em um sistema ortogonal, tem o mesmo valor em qualquer outro sistema de eixos ortogonais.
  • Vamos usar a sugestão: olhar para o comprimento do vetor \mathbf{r}+\mathbf{s}. A ideia é escrever o quadrado desse comprimento em termos de produtos escalares e resolver para \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}. Como comprimentos (ou seus quadrados) são independentes da escolha de eixos ortogonais, isso mostrará a invariância de \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}.

Passo 6

Computando \|\mathbf{r}+\mathbf{s}\|^2 em coordenadas (usando a definição do produto escalar):
  • As componentes de \mathbf{r}+\mathbf{s} são r_i+s_i.
  • Pelo item (a) e pela definição do produto escalar,
\|\mathbf{r}+\mathbf{s}\|^2=(\mathbf{r}+\mathbf{s})\cdot(\mathbf{r}+\mathbf{s})=\sum_i (r_i+s_i)^2.
  • Expandindo o quadrado coordena a coordenada:
\sum_i (r_i+s_i)^2=\sum_i (r_i^2+2r_i s_i + s_i^2).
  • Separe as somas:
\sum_i r_i^2 + 2\sum_i r_i s_i + \sum_i s_i^2.
  • Em notação de produto escalar isso é
\|\mathbf{r}+\mathbf{s}\|^2 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} + 2\,\mathbf{r}\cdot\mathbf{s} + \mathbf{s}\cdot\mathbf{s}.

Passo 7

Isolando \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} e usando invariância dos comprimentos:
  • Reorganize a igualdade anterior para obter \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}:
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\tfrac{1}{2}\Big(\|\mathbf{r}+\mathbf{s}\|^2 - \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} - \mathbf{s}\cdot\mathbf{s}\Big).
  • Do item (a) sabemos que \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=\|\mathbf{r}\|^2 e \mathbf{s}\cdot\mathbf{s}=\|\mathbf{s}\|^2, e o enunciado afirma que esses comprimentos (e portanto seus quadrados) são independentes da escolha de eixos ortogonais.
  • Além disso, o comprimento de \mathbf{r}+\mathbf{s} também é uma propriedade geométrica do vetor e não depende dos eixos ortogonais escolhidos.
  • Assim, o lado direito da expressão acima é formado apenas por quantidades geométricas (quadrados de comprimentos) que não mudam quando trocamos para outro sistema de eixos ortogonais. Portanto o valor de \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} obtido por essa fórmula também não muda.

Passo 8

Conclusão final e intuição:
  • Mostramos que existe uma fórmula que expressa \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} em termos dos comprimentos de \mathbf{r}, \mathbf{s} e \mathbf{r}+\mathbf{s}. Como esses comprimentos não dependem da escolha de eixos ortogonais, o produto escalar calculado por \sum_i r_i s_i em qualquer sistema ortogonal dá sempre o mesmo número.
  • Intuitivamente: escolher outro conjunto de eixos ortogonais só corresponde a rodar (ou refletir) todo o sistema de referência; rotações e reflexões preservam distâncias, e o produto escalar pode ser recuperado a partir de distâncias, logo é preservado.

Resposta

(a) r=\sqrt{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}
(b) \displaystyle \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\tfrac{1}{2}\big(\|\mathbf{r}+\mathbf{s}\|^{2}-\|\mathbf{r}\|^{2}-\|\mathbf{s}\|^{2}\big), logo \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais.

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