1.17** (a) Mostre que o produto vetorial \mathbf{r} \times \mathbf{s}, como definido em (1.9), é distributivo, isto é, que \mathbf{r} \times(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{r} \times \mathbf{u})+(\mathbf{r} \times \mathbf{v}). (b) Mostre a regra do produto
\frac{d}{d t}(\mathbf{r} \times \mathbf{s})=\mathbf{r} \times \frac{d \mathbf{s}}{d t}+\frac{d \mathbf{r}}{d t} \times \mathbf{s}
Tenha cuidado com a ordem dos fatores.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Mostrar que o produto vetorial é distributivo, isto é, provar a igualdade
\mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{r}\times\mathbf{u})+(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).
  1. (b) Mostrar a regra do produto para derivadas, isto é, provar a igualdade
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{s})=\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{s}.
Informações dadas (que vamos usar explicitamente): a definição do produto vetorial segundo (1.9). Vou usar a forma componente do produto vetorial padrão: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
A resolução começa a partir dessa definição e vai desenvolver passo a passo as igualdades pedidas.

Passo 2

Vou escrever todas as três componentes dos vetores envolvidos para trabalhar coordenada a coordenada (isso tira qualquer ambiguidade). Defino
\mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3),\qquad \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
A soma \mathbf{u}+\mathbf{v} é simplesmente a soma componente a componente:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\; u_2+v_2,\; u_3+v_3).

Passo 3

Agora calculo o produto vetorial \mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v}) usando a fórmula componente a componente. Aplicando a definição:
\mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})= \bigl( r_2(u_3+v_3)-r_3(u_2+v_2),\; r_3(u_1+v_1)-r_1(u_3+v_3),\; r_1(u_2+v_2)-r_2(u_1+v_1) \bigr).

Passo 4

Distribuo os parênteses em cada componente (uso que multiplicação de escalares distribui sobre soma):
\mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})= \bigl( r_2u_3+r_2v_3 - r_3u_2 - r_3v_2,\; r_3u_1+r_3v_1 - r_1u_3 - r_1v_3,\; r_1u_2+r_1v_2 - r_2u_1 - r_2v_1 \bigr).

Passo 5

Agrupo termos de cada componente em dois blocos, um com produtos envolvendo \mathbf{u} e outro com produtos envolvendo \mathbf{v}:
\mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})= \bigl( (r_2u_3 - r_3u_2) + (r_2v_3 - r_3v_2),\; (r_3u_1 - r_1u_3) + (r_3v_1 - r_1v_3),\; (r_1u_2 - r_2u_1) + (r_1v_2 - r_2v_1) \bigr).

Passo 6

Reconheço nas parcelas agrupadas as componentes de \mathbf{r}\times\mathbf{u} e de \mathbf{r}\times\mathbf{v}. De fato, pela definição,
\mathbf{r}\times\mathbf{u}=(r_2u_3 - r_3u_2,\; r_3u_1 - r_1u_3,\; r_1u_2 - r_2u_1),
\mathbf{r}\times\mathbf{v}=(r_2v_3 - r_3v_2,\; r_3v_1 - r_1v_3,\; r_1v_2 - r_2v_1).
Somando componente a componente obtemos exatamente o vetor escrito no Passo 5. Portanto
\mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{r}\times\mathbf{u})+(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

Passo 7

Conclusão da parte (a): mostramos componente a componente que a igualdade pedida vale. Isso prova a distributividade do produto vetorial sobre a soma de vetores, usando apenas a definição componente do produto vetorial e as propriedades usuais da aritmética de escalares.

Passo 8

Agora parto para (b). Vou assumir que \mathbf{r}=\mathbf{r}(t) e \mathbf{s}=\mathbf{s}(t) têm componentes dependentes do tempo:
\mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)),\qquad \mathbf{s}(t)=(s_1(t),s_2(t),s_3(t)).
A derivada \dfrac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{s}) será feita componente a componente aplicando as regras de derivação para escalares (regra da soma e regra do produto para funções reais).

Passo 9

Escrevo primeiro as componentes do produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{s}:
\mathbf{r}\times\mathbf{s}= \bigl( r_2 s_3 - r_3 s_2,\; r_3 s_1 - r_1 s_3,\; r_1 s_2 - r_2 s_1 \bigr),
onde, para abreviar, estou omitindo a dependência explícita t nos r_i e s_i; mas todos são funções de t.

Passo 10

Faço a derivada da primeira componente r_2 s_3 - r_3 s_2. Usando a regra do produto (derivada de f g é f' g + f g') e a linearidade da derivada:
\frac{d}{dt}(r_2 s_3 - r_3 s_2) = (r_2' s_3 + r_2 s_3') - (r_3' s_2 + r_3 s_2').
Reagrupando os termos:
\frac{d}{dt}(r_2 s_3 - r_3 s_2) = (r_2 s_3' - r_3 s_2') + (r_2' s_3 - r_3' s_2).
Observe que o primeiro parêntese é a primeira componente de \mathbf{r}\times\mathbf{s}' e o segundo parêntese é a primeira componente de \mathbf{r}'\times\mathbf{s}.

Passo 11

Faço a mesma coisa para as outras duas componentes. Segunda componente:
\frac{d}{dt}(r_3 s_1 - r_1 s_3) = (r_3' s_1 + r_3 s_1') - (r_1' s_3 + r_1 s_3')
= (r_3 s_1' - r_1 s_3') + (r_3' s_1 - r_1' s_3),
onde o primeiro bloco é a segunda componente de \mathbf{r}\times\mathbf{s}' e o segundo é a segunda componente de \mathbf{r}'\times\mathbf{s}.
Terceira componente:
\frac{d}{dt}(r_1 s_2 - r_2 s_1) = (r_1' s_2 + r_1 s_2') - (r_2' s_1 + r_2 s_1')
= (r_1 s_2' - r_2 s_1') + (r_1' s_2 - r_2' s_1),
onde, de novo, os blocos correspondem às terceiras componentes de \mathbf{r}\times\mathbf{s}' e de \mathbf{r}'\times\mathbf{s}.

Passo 12

Reunindo as três componentes que acabamos de derivar, vemos que
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{s}) = \bigl( \text{(comp.1 de }\mathbf{r}\times\mathbf{s}')+\text{(comp.1 de }\mathbf{r}'\times\mathbf{s}),\; \text{(comp.2 de }\mathbf{r}\times\mathbf{s}')+\text{(comp.2 de }\mathbf{r}'\times\mathbf{s}),\; \text{(comp.3 de }\mathbf{r}\times\mathbf{s}')+\text{(comp.3 de }\mathbf{r}'\times\mathbf{s}) \bigr).
Isto é precisamente a soma dos vetores \mathbf{r}\times\mathbf{s}' e \mathbf{r}'\times\mathbf{s}. Portanto
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{s})=\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{s}.
Nota importante (atenção à ordem): durante todo o cálculo preservei a ordem dentro de cada produto vetorial (por exemplo, \mathbf{r}\times\mathbf{s}' e \mathbf{r}'\times\mathbf{s}); isso é essencial porque o produto vetorial não é comutativo. A adição final entre esses dois vetores, porém, é comutativa, então a soma pode ser escrita em qualquer ordem, mas dentro de cada termo a ordem dos fatores importa.

Resposta

(a) \mathbf{r}\times(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{r}\times\mathbf{u})+(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\n
(b) \dfrac{d}{dt}(\mathbf{r}\times\mathbf{s})=\mathbf{r}\times\dfrac{d\mathbf{s}}{dt}+\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{s}

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