1.17** (a) Mostre que o produto vetorial
, como definido em (1.9), é distributivo, isto é, que
. (b) Mostre a regra do produto
Tenha cuidado com a ordem dos fatores.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Mostrar que o produto vetorial é distributivo, isto é, provar a igualdade
- (b) Mostrar a regra do produto para derivadas, isto é, provar a igualdade
Informações dadas (que vamos usar explicitamente): a definição do produto vetorial segundo (1.9). Vou usar a forma componente do produto vetorial padrão: se
e
então
A resolução começa a partir dessa definição e vai desenvolver passo a passo as igualdades pedidas.
Passo 2
Vou escrever todas as três componentes dos vetores envolvidos para trabalhar coordenada a coordenada (isso tira qualquer ambiguidade). Defino
A soma
é simplesmente a soma componente a componente:
Passo 3
Agora calculo o produto vetorial
usando a fórmula componente a componente. Aplicando a definição:
Passo 4
Distribuo os parênteses em cada componente (uso que multiplicação de escalares distribui sobre soma):
Passo 5
Agrupo termos de cada componente em dois blocos, um com produtos envolvendo
e outro com produtos envolvendo
:
Passo 6
Reconheço nas parcelas agrupadas as componentes de
e de
. De fato, pela definição,
Somando componente a componente obtemos exatamente o vetor escrito no Passo 5. Portanto
Passo 7
Conclusão da parte (a): mostramos componente a componente que a igualdade pedida vale. Isso prova a distributividade do produto vetorial sobre a soma de vetores, usando apenas a definição componente do produto vetorial e as propriedades usuais da aritmética de escalares.
Passo 8
Agora parto para (b). Vou assumir que
e
têm componentes dependentes do tempo:
A derivada
será feita componente a componente aplicando as regras de derivação para escalares (regra da soma e regra do produto para funções reais).
Passo 9
Escrevo primeiro as componentes do produto vetorial
:
onde, para abreviar, estou omitindo a dependência explícita
nos
e
; mas todos são funções de
.
Passo 10
Faço a derivada da primeira componente
. Usando a regra do produto (derivada de
é
) e a linearidade da derivada:
Reagrupando os termos:
Observe que o primeiro parêntese é a primeira componente de
e o segundo parêntese é a primeira componente de
.
Passo 11
Faço a mesma coisa para as outras duas componentes. Segunda componente:
onde o primeiro bloco é a segunda componente de
e o segundo é a segunda componente de
.
Terceira componente:
onde, de novo, os blocos correspondem às terceiras componentes de
e de
.
Passo 12
Reunindo as três componentes que acabamos de derivar, vemos que
Isto é precisamente a soma dos vetores
e
. Portanto
Nota importante (atenção à ordem): durante todo o cálculo preservei a ordem dentro de cada produto vetorial (por exemplo,
e
); isso é essencial porque o produto vetorial não é comutativo. A adição final entre esses dois vetores, porém, é comutativa, então a soma pode ser escrita em qualquer ordem, mas dentro de cada termo a ordem dos fatores importa.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)